Question

2- Os alunos Juca e Pedro, que estudam na Escola Municipal Professor Ruben
De Lima Barros, estavam jogando com desafios de matemática. Juca escre
veu uma sequência de numeros inteiros e lançou cinco desafios para seu
colega. Ajude Pedro a responder estes desafios.
Sequência (128 64 32 16 8 )


a) O primeiro termo dessa sequência é o número 128, o segundo termo é o
numero 64, o terceiro termo é o número 32 e, assim por diante. O número 1
vai estar em que posição da sequência? E qual é a sua representação na
forma de potência?


b) Esta sequência pode ser escrita na forma de potência? Se sim, qual a base
desta potência?


c) A partir de qual termo, o expoente desta potência passa a ser negativo?Essa potência representa qual número?


d) Escreva os 10 primeiros termos dessa sequência na forma de potência:


e) Escreva os 10 primeiros termos dessa potência na forma de número ra-
cional (use fração para representar as potências de expoente negativo).
area

me ajudem pelo amor de deus!!!
​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre progressões geométricas.

Seja a sequência $(128,~64,~32,~16,~8,~\cdots)$

a) O primeiro termo dessa sequência é o número $128$, o segundo termo é o  número $64$, o terceiro termo é o número $32$ e assim por diante. O número $1$  vai estar em que posição da sequência? E qual é a sua representação na  forma de potência?

Para encontrar a posição do número $1$ nesta sequência, utilizamos a fórmula do termo geral: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, em que $q$ é uma constante, chamada de razão, calculada pela razão entre dois termos subsequentes $\left(q=\dfrac{a_2}{a_1}\right)$.

Substituindo $a_2=64$ e $a_1=128$, teremos:

$1=128\cdot\left(\dfrac{64}{128}\right)^{n-1}$

Simplifique a fração

$1=128\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

Então, reescrevemos os números em forma de potência de base 2:

$2^0=2^7\cdot(2^{-1})^{n-1}$

Aplique as propriedades de potência: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ e $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$2^0=2^7\cdot2^{1-n}\\\\\\\ 2^0=2^{8-n}$

Por fim, visto que as bases são iguais, igualamos os expoentes

$0=8-n$

Some $n$ em ambos os lados da equação

$n=8$

Assim, diz-se que o número $1$ estará na oitava posição desta sequência e, como visto anteriormente, sua representação em forma de potência é $2^0$.

b) Esta sequência pode ser escrita na forma de potência? Se sim, qual a base  desta potência?

Sim, esta sequência pode ser escreta na forma de potências de base $2$.

c)  A partir de qual termo, o expoente desta potência passa a ser negativo?Essa potência representa qual número?

Visto que o número $1$, que ocupa a oitava posição da sequência tem sua representação como $2^0$, facilmente conclui-se que o expoente passa a ser negativo a partir do nono termo.

Da mesma forma, lembre-se que $q=2^{-1}$, logo observa-se que $a_9=2^{-1}$.

Reescrevendo a potência em forma fracionária, temos: $a_9=\dfrac{1}{2}$

d)  Escreva os 10 primeiros termos dessa sequência na forma de potência:

$(2^7,~2^6,~2^5,~2^4,~2^3,~2^2,~2^1,~2^0,~2^{-1},~2^{-2},~\cdots)$

e) Escreva os 10 primeiros termos dessa potência na forma de número racional:

$\left(128,~64,~32,~16,~8,~4,~2,~1,~\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{4},~\cdots\right)$

Estas são as respostas para estas alternativas.