Matemática, perguntado por jagpaula, 1 ano atrás

2) O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular crescem a uma taxa de 1 pol/s, 2pol/s e 3 pol/s, respectivamente.
a) A que taxa o volume está crescendo quando o comprimento é 2 pol, a largura 3 pol e a altura 6 pol?
b) A que taxa está crescendo o comprimento da diagonal naquele instante?

Soluções para a tarefa

Respondido por matufop

a) 60 pol^3/s

b) 26/7 pol/s

Respondido por macchina

Resposta:

a) O volume cresce a uma taxa de 60pol³/s

b) O comprimento cresce a uma taxa de 26/7pol/s

Relação entre taxa e derivada:

A taxa de variação de alguma grandeza é matematicamente relacionada a derivada. Em outras palavras, a derivada descreve a taxa de variação (crescimento ou redução) instantânea de alguma função. Nesse caso, estamos interessado em duas funções: o volume e o comprimento da diagonal.

Taxa de crescimento do volume:

Para o instante informado, o volume pode ser escrito com a seguinte função:

$V=(2+t)*(3+2t)*(6+3t)$

Da esquerda para a direita, temos: o comprimento, a largura e a altura. A taxa de crescimento de cada dimensão multiplica a variável de tempo t. Realizando-se as multiplicações, temos:

$V=36 + 60 t + 33 t^2 + 6 t^3$

cuja derivada em relação ao tempo t é:

$V'=18t^2+66t+60$

Note que o instante de interesse ocorre para t=0, pois nesse instante, a caixa tem as dimensões de 2pol, 3pol e 6pol. Sendo assim, iguala-se t=0 na derivada do volume, obtendo-se então o valor da taxa de crescimento do volume no instante desejado:

$V'=18*0^2+66*0+60=60pol^3/s$

Taxa de crescimento da diagonal:

A diagonal de um paralelepípedo (forma geométrica da caixa retangular do exercício) é dado pela soma dos quadrados das 3 dimensões.

Para o instante informado, a diagonal pode ser escrita com a seguinte função:

$D=\sqrt{(2+t)^2+(3+2t)^2+(6+3t)^2}$

Da mesma forma, a taxa de crescimento da diagonal é dado pela derivada da função com relação a variável t. Sendo assim, temos:

$D'=\frac{2 (13 + 7 t)}{\sqrt{49 + 52 t + 14 t^2}}$

Da mesma forma que no item a), o nosso instante de interesse ocorre para t=0. Então, basta calcular o valor da derivada da diagonal no instante t=0. Dessa forma, obtém-se:

$D'=\frac{2 (13 + 7*0)}{\sqrt{49 + 52*0 + 14*0^2}}=26/7 pol/s$