2. No triângulo ABC da figura abaixo temos que DE // BC. Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é de 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC e o perímetro desse triângulo.
Soluções para a tarefa
BC = 14 cm
Proporção entre os lados correspondentes (os triângulos são semelhantes)
x - 1 / x - 1 + 3 = x + 4 / x + 4 + x
x - 1 / x + 2 = x + 4 / 2x + 4
(x-1).(2x+4) = (x+2).(x+4)
2x² + 4x - 2x - 4 = x² + 4x + 2x + 8
x²- 4x - 12 = 0
Soma = 4
Produto = -12
Raízes = 6 e -2
Como o valor de x só pode ser positivo, ele vale 6 => x = 6 cm
Assim, descobrimos o valor dos lados:
x - 1 = 6 - 1 = 5 => 5 + 3 = 8 cm (AB)
x + 4 + x => 6 + 4 + 6 => 16 cm (AC)
14 cm (BC)
Basta somar os lados para calcular o perímetro:
AB + AC + AC = Perímetro
8 + 16 + 14 = Perímetro
Perímetro = 38 cm
Resposta: 38 cm é o perímetro do triângulo ABC.
As medidas dos lados AB e AC e o perímetro desse triângulo:
AB = 8 cm; AC = 16 cm; p = 38 cm.
Explicação:
Na resolução dessa atividade, utilizaremos o teorema de Tales:
a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.
Como os segmentos DE e BC são paralelos, existe a seguinte proporção:
AD = DB
AE EC
x - 1 = 3
x - 4 x
x·(x - 1) = 3·(x - 4)
x² - x = 3x = 12
x² - x - 3x - 12 = 0
x² - 4x - 12 = 0
Agora, é preciso resolver a equação do 2° grau.
Os coeficientes são: a = 1, b = -4, c = -12.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4·1·(-12)
Δ = 16 + 48
Δ = 64
x = - b ± √Δ
2a
x = - (-4) ± √64
2
x = 4 ± 8
2
x' = 4 + 8 = 12 = 6
2 2
x'' = 4 - 8 = - 4 = - 2 (não serve, pois x é medida de comprimento)
2 2
Logo, x = 6 cm.
A medida do lado AB:
AB = x - 1 + 3
AB = 6 - 1 + 3
AB = 5 + 3
AB = 8 cm
A medida do lado BC:
BC = x + 4 + x
BC = 6 + 4 + 6
BC = 16 cm
O perímetro do triângulo:
p = AB + AC + BC
p = 8 + 16 + 14
p = 38 cm
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