Question

(2^[n] + 2^[n-1])(3^[n] - 3^[n-1]) Alguém sabe fatorar?

Answer 1

Resposta:

[3^(n - 1) + 2*3^(n + 1)]/3^n

Na resolução desta expressão você deve ter uma noção boa de fatoração e propriedades de potenciação. Tentarei fazer um passo a passo:

= [3^(n - 1) + 2*3^(n + 1)]/3^n

>>>> Vamos começar utilizando a distributiva nos números elevados. Lembre-se da propriedade das potências que diz:

a^m * a^n = a^(m + n)

a^m / a^n = a^(m - n)

Logo:

= [3^n / 3^1 + 2 * 3^n * 3^1]/3^n

>>>> Vamos fatorar pelo termo comum (3^n):

= [3^n / 3^1 + 2 * 3^n * 3^1]/3^n

= (3^n)[1 / 3^1 + 2 * 1 * 3^1]/3^n

>>>> Vamos resolver a expressão dentro dos colchetes, começando pelas exponenciações:

= (3^n)[1 / 3 + 2 * 1 * 3]/3^n

= (3^n)[1/3 + 2 * 3]/3^n

= (3^n)[1/3 + 6]/3^n

= (3^n)[1/3 + 18/3]/3^n

= (3^n)[19/3]/3^n

>>>> Por fim, vamos simplificar a expressão ao cancelar o termo (3^n), que está no numerador e no denominador (note que poderia ser feito desde o começo, deixei apenas por referência).

= 19/3

Enfim, é isso. Entender este tipo de exercício requer um conhecimento muito amplo fatoração (no geral) e principalmente as propriedades das potências

Answer 2

Resposta:

6^n

Explicação passo-a-passo:

[2^n + 2^(n - 1)] • [3^n - 3^(n - 1)] =

(2^n + 2^n/2) • (3^n - 3^n/3) =

[2^n(1 + 1/2)] • [3^n(1 - 1/3)] =

(2^n • 3/2) • (3^n • 2/3) =

[(2 • 3)^n • 3 • 2]/6 =

6^n • 6 /6 =

6^n