Question

     2. 
Mostre que a área de um quadrado inscrito num circulo ocupa mais que
a                              metade da
área do circulo Comprove a resposta  usando o resultado de Antifão .

Answer 1

como podemos observar, a diagonal do quadrado equivale ao diametro do circulo.
diametro é duas vezes o raio
diagonal do quadrado achamos por pitagoras, one "a" é a aresta do quadrado

diametro = diagonal

2r = $\sqrt{a^{2} + a^{2} }$
2r = $\sqrt{2 a^{2} }$
2r = a$\sqrt{2}$
r = $a \frac{ \sqrt{2} }{2}$

a área de um circulo é $\pi r^{2}$, mas como queremos a metade, será então: $\frac{\pi r^{2}}{2}$

como temos que r = $a \frac{ \sqrt{2} }{2}$.. substituimos:

$\frac{\pi (a \frac{ \sqrt{2} }{2})^{2}}{2}$

$\frac{\pi a^{2} \frac{2}{4}}{2}$

$\frac{\pi a^{2} \frac{1}{2}}{2}$

$\frac{ \pi a^{2} }{4}$

ésta é a metade da area de um circulo em função da aresta do quadrado inscrito nele, agora, percebemos:
a área do quadrado é $a^{2}$
$a^{2}$ > $\frac{ \pi a^{2} }{4}$
1 > $\frac{ \pi }{4}$
assim, vemos que a area do quadrado inscrito em um circulo é maior que a metade do próprio circulo