Question

2) Mexilhões zebra são mariscos de água doce que apareceram no Rio São Lourenço pela primeira vez no
início da década de 1980 e que se difundiram pelos grandes lagos da América do Norte. Suponha que, t
meses depois do seu aparecimento em uma enseada pequena, o número de mexilhões zebra era dado
por Z(t) = 300t2. Quantos mexilhões zebra estarão na enseada depois de quatro meses? A que taxa a
população estará crescendo naquele instante?

Answer 1

Depois de quatro meses, a quantidade de mexilhões zebra que estarão na enseada é igual a 4800 mexilhões, enquanto  a taxa de população naquele instante é de 2400 mexilhões/ano.

Calculo de funções e derivadas

Neste caso, o número de mexilhões zebra é dado por uma função, na qual a variável t indica os meses após seu aparecimento. Então, deve-e calcular a quantidade após 4 meses.

Para isso, apenas será necessário substituir o número de meses na função, da seguinte maneira:

                                        $Z(t) = 300\cdot t^{2}\\\\Z(4) = 300\cdot 4^{2}\\\\Z(4) = 300 \cdot 16\\\\\boxed{Z(4) = 4800\;}$

Logo, deve-se calcular a taxa de variação em que a população estará crescendo para esse momento (4 meses), para isso apenas se deve calcular a primeira derivada da função, aplicando a regra da potência:

                                    $\boxed{\frac{d}{dx}\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}}$

Assim temos que:

                                   $\frac{d}{dt}\left(300\cdot t^2\right) = 300 \cdot 2 t^{2-1} \\\\\frac{d}{dt}\left(300\cdot t^2\right) = 300 \cdot 2t\\\\\frac{d}{dt}\left(300\cdot t^2\right) = 600\cdot t$

Finalmente substituímos o valor de t = 4 meses nessa derivada da função, para determinar a taxa  de variação:

                                           $Z(t)'= 600\cdot t \\\\Z(4)' = 600\cdot 4\\\\\boxed{Z(4)' = 2400}$

Entenda mais sobre funções em: https://brainly.com.br/tarefa/50691112