Question

2 log2 (x+1) = 3, como resolver?

Answer 1

Ae manoo,

na equação logarítmica $\Large\boxed{2\log_2(x+1)=3}$

vamos inicialmente estabelecer a condição para que o logaritmo acima exista..

x+1>0
            (pois a incógnita encontra-se no logaritmando)
x> -1

Feito isso, vamos aplicar a propriedade da potência e a definição:

$n\cdot\log_b(c)=\log_b(c)^n\\\\ \log_b(c)=a~\Rightarrow~b^a=c$

............................

$\log_2(x+1)^2=3\\ (x+1)^2=2^3\\ x^2+2x+1=8\\ x^2+2x-7=0\\\\ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-7)\\ \Delta=4+28\\ \Delta=32\\\\ x= \dfrac{-2\pm \sqrt{32} }{2\cdot1}= \dfrac{-2\pm4 \sqrt{2} }{2}\begin{cases}x_1= \dfrac{-2+4 \sqrt{2} }{2}=-1+2 \sqrt{2}\\\\ x_2= \dfrac{-2-4 \sqrt{2} }{2}=-1-2 \sqrt{2} \notin\mathbb{R} \end{cases}$

Vimos que a segunda raiz não atende à condição de existência, portanto:

$\Large\boxed{\text{S}=\{-1+2 \sqrt{2} \}}$

Tenha ótimos estudos ;P