Question

2) log(x²+36) = 2


3) log(x) + log(2 - x) = 0 (DICA: Logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero, ou seja, log1=0).

Answer 1

Temos dois exercícios envolvendo equações logarítmicas e, para resolve-los, é essencial lembramos da definição de logaritmo, suas propriedades e condições de existência.

Sendo assim, vamos fazer um resumo rápido desses itens.

$\sf De finicao~de~Logaritmo:~~ \boxed{\sf \log_ba=c~\Longleftrightarrow~a=b^c}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}\\\\Propriedade~do~Logaritmo~da~Potencia:~~\boxed{\sf \log_ba^c=c\cdot \log_ba}\\\\Propriedade~da~Troca~de~Base:~~\boxed{\sf \log_ba=\dfrac{\log_ca}{\log_cb}}$

$\sf Para~o~logaritmo~\log_ba,~temos~as~seguintes~condicoes~de~existencia:\\\\\boxed{\begin{array}{ccc}\sf a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}}$

Vamos aos exercícios.

2)

Aplicando a definição de logaritmo, podemos reescrever a equação logarítmica como uma função algébrica.

$\sf \log\,(x^2+36)~=~2~~\Longleftrightarrow~~\boxed{x^2+36~=~10^2}$

Assim, se existirem, as soluções da equação logarítmica estarão no conjunto solução da equação algébrica obtida. Vamos resolve-la!

$\sf x^2+36~=~10^2\\\\\\x^2+36~=~100\\\\\\x^2~=~100-36\\\\\\x^2~=~64\\\\\\x~=~\pm\sqrt{64}\\\\\\\boxed{\sf x~=~\pm8}$

Reforçando, estas são as soluções da equação algébrica, precisamos agora verificar se são, também, soluções da equação logarítmica.

Essa verificação será feita pelas condições de existência.

Vamos substituir os valores de "x" no logaritmo log(x²+36) e conferir se as condições de existência são atendidas.

$\sf \underline{Para~x=\!-8},~temos:\\\\\log\left((-8)^2+36\right)\\\\\log(64+36)\\\\\boxed{\log100}$

Como podemos ver, a condição imposta ao logaritmando (ser maior que zero) é atendida e, também, as condições impostas à base (ser maior que zero e diferente de 1).

Portanto x=-8 é solução da equação logarítmica também.

$\sf \underline{Para~x=8},~temos:\\\\\log\left(8^2+36\right)\\\\\log(64+36)\\\\\boxed{\log100}$

Novamente, todas condições são atendidas, logo x=8 é solução também da equação logarítmica.

Resposta: S = {-8 , 8}

3)

$\sf \log x~+~\log(2-x)~=~0$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos:

$\sf \log\left(~x\!\cdot\! (2-x)~\right)~=~0$

Aplicando a definição de logaritmo:

$\sf \log\left(~x\!\cdot\! (2-x)~\right)=0~~\Longleftrightarrow~~\boxed{x\cdot (2-x)=10^0}$

Novamente, obtemos uma equação algébrica a partir da equação logarítmica e, portanto, se existirem, as soluções da equação logarítmica estarão no conjunto solução da equação algébrica obtida. Vamos resolve-la!

$\sf x\cdot (2-x)~=~10^0\\\\\\2x-x^2~=~1\\\\\\x^2-2x+1~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara~(vou~omitir~estes~calculos),~obtemos~uma~raiz~dupla\\de~valor~1,~ou~seja,~\boxed{x'=x''=1}.$

Vamos substituir o valor de "x" nos logaritmos log(x) e log(2-x) para conferir se as condições de existência são atendidas.

$\sf \log\,x~~ para~x=1:\\\\\boxed{\log1}\\\\\\\log\,(2-x)~para~x=1:\\\\\log\,(2-1)\\\\\boxed{\log1}$

Como podemos ver, nos dois logaritmos, a condição imposta ao logaritmando (ser maior que zero) é atendida e, também, as condições impostas à base (ser maior que zero e diferente de 1).

Assim, x=1 é solução da equação logarítmica.

Resposta: S = {1}

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$