Question

2 log 2x + log 1/2 x = log2 3

Answer 1

$2log _{2}x+log _{ \frac{1}{2} }x=log _{2}3$

Como os logaritmos do 1º lado da igualdade estão em bases diferentes, vamos aplicar a propriedade de mudança de base de logaritmos, escolhendo a base inteira, base 2:

Pela P.M.B, mudando-se para uma base b, temos:

$log _{a}c= \frac{log _{b}c }{log _{b}a }$

$2log _{2}x+ \frac{log _{2}x }{log _{2} \frac{1}{2} }=log _{2}3$

$2log _{2}x+ \frac{log _{2} x}{-1}=log _{2}3$

$2log _{2}x-log _{2}x=log _{2}3$

Aplicando a p2 e a p3, (propriedade do produto e da potência)

$loga-logb=log \frac{a}{b}$

$logb ^{x}=x*logb$

$\frac{(log _{2}x) ^{2} }{log _{2}x }=log _{2}3$

Utilizando uma variável auxiliar, fazendo $log _{2}x=y$, temos:

$\frac{y ^{2} }{y}=3$

$y^{2}=3y$

$y^{2}-3y=0$

$y(y-3)=0$

$y'=0~~e~~y''=3$

Retomando a variável original, temos:

Para y=0:

$log _{2}x=y$

$log _{2}x=0$

Usando a definição, vem:

$x=2 ^{0}$

$x=1$

Para y=3:

$log _{2}x=3$

$x=2 ^{3}$

$x=8$, portanto:


$\boxed{\boxed{S=(1,8)}}$


Espero ter ajudado!!!