2. (FGV – ECONOMIA) Sejam f e g duas funções de ℜ em ℜ, tais que f(x) = 2x e
g(x) = 2 – x. Então, o gráfico cartesiano da função f(g(x)) + g(f(x))
a) passa pela origem.
b) corta o eixo x no ponto (–4, 0).
c) corta o eixo y no ponto (6, 0).
d) tem declividade positiva.
e) passa pelo ponto (1, 2).
com explicação, por favor.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Se f(x) = 2x e g(x) = 2 - x
Temos que:
f(g(x)) = f(2-x) = 2.(2-x) = 4 - 2x (I)
g(f(x)) = g(2x) = 2 - 2x (II)
f(f(x)) = f(2x) = 2.(2x) = 4x (III)
g(g(x)) = g(2-x) = 2 - (2-x) = 2 - 2 + x = x (IV)
Juntando as expressões na equação dada:
(I) + (II) = (III) + (IV)
4 - 2x + 2 - 2x = 4x + x
-4x - 4x - x = -4 - 2
-9x = -6
x = 6/9
x = 2/3
Explicação passo a passo:
O gráfico da função passa pelo ponto (1;2). (letra e)
Vamos utilizar o conceito de função composta. Para encontrarmos , devemos substituir na lei de formação de pela expressão de
Assim, aplicando essa teoria para os dados do enunciado, temos que:
e, como , teremos:
.
De forma análoga, podemos obter Teremos:
e, portanto:
.
A partir dessa informação, conseguimos obter a lei de formação da expressão . Teremos:
Podemos notar que essa é uma função cuja lei de formação é um polinômio do primeiro grau, cujo coeficiente angular é -4 e o coeficiente linear é 6.
O gráfico dessa função pode ser observado na imagem.
Notamos que:
- o gráfico não passa pela origem, pois ao substituirmos em sua expressão, não obtemos o valor zero e sim 6, indicando que a função passa pelo ponto (0;6) ao cortar o eixo y.
- a raiz da função, obtida ao igualarmos sua lei de formação a zero, é igual a 1,5, indicando que a função corta o eixo x no ponto (1,5;0).
- como seu coeficiente angular é negativo sua declividade é negativa.
- ela passa pelo ponto (1;2), pois ao substituirmos em sua lei de formação, encontramos o valor 2 para y.
Assim, a resposta correta é a alternativa e.
Para aprender mais sobre esse assunto, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/203670