Question

2. (FGV – ECONOMIA) Sejam f e g duas funções de ℜ em ℜ, tais que f(x) = 2x e
g(x) = 2 – x. Então, o gráfico cartesiano da função f(g(x)) + g(f(x))
a) passa pela origem.
b) corta o eixo x no ponto (–4, 0).
c) corta o eixo y no ponto (6, 0).
d) tem declividade positiva.
e) passa pelo ponto (1, 2).
com explicação, por favor.

Answer 1

Resposta:

Se f(x) = 2x e g(x) = 2 - x

Temos que:

f(g(x)) = f(2-x) = 2.(2-x) = 4 - 2x  (I)

g(f(x)) = g(2x) = 2 - 2x                (II)

f(f(x)) = f(2x) = 2.(2x) = 4x          (III)

g(g(x)) = g(2-x) = 2 - (2-x) = 2 - 2 + x = x (IV)

Juntando as expressões na equação dada:

(I) + (II) = (III) + (IV)

4 - 2x + 2 - 2x = 4x + x

-4x - 4x - x = -4 - 2

-9x = -6

x = 6/9

x = 2/3

Explicação passo a passo:

Answer 2

O gráfico da função passa pelo ponto (1;2). (letra e)

Vamos utilizar o conceito de função composta. Para encontrarmos $f(g(x))$, devemos substituir $x$ na lei de formação de $f(x)$ pela expressão de $g(x).$

Assim, aplicando essa teoria para os dados do enunciado, temos que:

$f(x)=2x\\ f(g(x))=2g(x)$

e, como $g(x)=2-x$, teremos:

$f(g(x))=2(2-x)=4-2x$.

De forma análoga, podemos obter $g(f(x)).$ Teremos:

$g(x)=2-x\\ g(f(x))=2-f(x)$

e, portanto:

$g(f(x))=2-2x$.

A partir dessa informação, conseguimos obter a lei de formação da expressão $f(g(x)) + g(f(x))$. Teremos:

$f(g(x))+g(f(x))=4-2x+2-2x\\ f(g(x))+g(f(x))=-4x+6$

Podemos notar que essa é uma função cuja lei de formação é um polinômio do primeiro grau, cujo coeficiente angular é -4 e o coeficiente linear é 6.

O gráfico dessa função pode ser observado na imagem.

Notamos que:

• o gráfico não passa pela origem, pois ao substituirmos $x=0$ em sua expressão, não obtemos o valor zero e sim 6, indicando que a função passa pelo ponto (0;6) ao cortar o eixo y.
• a raiz da função, obtida ao igualarmos sua lei de formação a zero, é igual a 1,5, indicando que a função corta o eixo x no ponto (1,5;0).
• como seu coeficiente angular é negativo sua declividade é negativa.
• ela passa pelo ponto (1;2), pois ao substituirmos $x=1$ em sua lei de formação, encontramos o valor 2 para y.

Assim, a resposta correta é a alternativa e.

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