2. Encontre uma transformação linear T: R2 R3 tal que o vetor (1,2) pertença ao núcleo de Teo
vetor (1, 2, 3) pertença à imagem de T.
Soluções para a tarefa
Resposta:
A)T(x,y,z)=(2x+y,y-z)
B)v=(x,3-2x,1-2x), x Real
Explicação passo-a-passo:
A)Toda transformação Linear pode ser representada por uma Matriz, onde as colunas são T aplicadas nos Vetores canônicos de R³
Do Enunciado:
T(1,0,0)=(2,0)
T(0,1,0)=(1,1)
T(0,0,1)=(0,-1)
\begin{gathered}[T]=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&1&-1\end{array}\right]\end{gathered}
[T]=[
2
0
1
1
0
−1
]
Assim:
\begin{gathered}T(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] \\\\T(x,y,z)=(2x+y,y-z)\end{gathered}
T(x,y,z)=[
2
0
1
1
0
−1
]
⎣
⎡
x
y
z
⎦
⎤
T(x,y,z)=(2x+y,y−z)
B) Basta encontrar v=(x,y,z), tal que T(v)=(3,2)=(2x+y,y-z):
\begin{gathered}\left \{ {{2x+y=3} \atop {y-z=2}} \right \\\\\left \{ {{2x+y=3} \atop {-y+z=-2}} \right. \\\\2x+z=1\\\\z=1-2x\\\\z=y-2\\\\y-2=1-2x\\\\y=3-2x\\\\v=(x,3-2x,1-2x)\end{gathered}
Para qualquer escalar x ∈ R (x número Real)