Question

2. Encontre a derivada das funções indicadas usando as regras de derivação:

a) f(r) = \pi \cdot r^2

b) f(x) = 2x^2 + \sqrt{2} \cdot x + \pi

c) f(x) = (3x^5 -1)(2-x^4)

d) f(x)=\frac{4-x}{5-x^2}

Answer 1

Resposta: ao derivar as funções, obtém-se: a) f'(r) = 2πr, b) f'(x) = 4x + √2, c) f'(x) = – 27x⁸ + 30x⁴ + 4x³, d) f'(x) = (– x² + 8x – 5)/(5 – x²)².

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As regras de derivação usadas nesta questão estão explícitas logo abaixo:

• f'(x) = (a)' ⇒ f'(x) = 0;
• f'(x) = (ax)' ⇒ f'(x) = a;
• f'(x) = (a · xᵏ)' ⇒ f'(x) = k · a · xᵏ⁻¹;
• f'(x) = (ax + bx)' ⇒ f'(x) = (ax)' + (bx)';
• f'(x) = (ax · bx)' ⇒ f'(x) = (ax)' · bx + (bx)' · ax;
• f'(x) = (ax/bx)' ⇒ f'(x) = [(ax)' · bx – (bx)' · ax]/(bx)².

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Item a)

$f(r)=\pi\cdot r^2$

$f'(r)=(\pi\cdot r^2)'$

$f'(r)=2\cdot \pi\cdot r$

$f'(r)=2\pi r$

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Item b)

$f(x)=2x^2+\sqrt{2}\cdot x+\pi$

$f'(x)=(2x^2+\sqrt{2}\cdot x+\pi)'$

$f'(x)=(2x^2)'+(\sqrt{2}\cdot x)'+(\pi)'$

$f'(x)=2\cdot2x^{2-1}+(\sqrt{2})'\cdot x+(x)'\cdot\sqrt{2}+0$

$f'(x)=4x^1+0\cdot x+1\cdot\sqrt{2}$

$f'(x)=4x+0+\sqrt{2}$

$f'(x)=4x+\sqrt{2}$

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Item c)

$f(x)=(3x^5-1)\cdot(2-x^4)$

$f'(x)=[(3x^5-1)\cdot(2-x^4)]'$

$f'(x)=(3x^5-1)'\cdot(2-x^4)+(2-x^4)'\cdot(3x^5-1)$

$f'(x)=[(3x^5)'-(1)']\cdot(2-x^4)+[(2)'-(x^4)']\cdot(3x^5-1)$

$f'(x)=(5\cdot3x^{5-1}-0)\cdot(2-x^4)+(0-4\cdot x^{4-1})\cdot(3x^5-1)$

$f'(x)=(15x^4)\cdot(2-x^4)+(-\,4x^3)\cdot(3x^5-1)$

$f'(x)=30x^4-15x^8-12x^8+4x^3$

$f'(x)=-27x^8+30x^4+4x^3$

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Item d)

$f(x)=\dfrac{4-x}{5-x^2}$

$f(x)=\dfrac{(4-x)'\cdot(5-x^2)-(5-x^2)'\cdot(4-x)}{(5-x^2)^2}$

$f(x)=\dfrac{[(4)'-(x)']\cdot(5-x^2)-[(5)'-(x^2)']\cdot(4-x)}{(5-x^2)^2}$

$f(x)=\dfrac{(0-1)\cdot(5-x^2)-(0-2\cdot x^{2-1})\cdot(4-x)}{(5-x^2)^2}$

$f(x)=\dfrac{-\,1\cdot(5-x^2)-(-\,2x^1)\cdot(4-x)}{(5-x^2)^2}$

$f(x)=\dfrac{-\,5+x^2-(-\,8x+2x^2)}{(5-x^2)^2}$

$f(x)=\dfrac{-\,5+x^2+8x-2x^2}{(5-x^2)^2}$

$f(x)=\dfrac{-\,x^2+8x-5}{(5-x^2)^2}$

Um pouco sobre essa regras:

• na primeira regra, a derivada de uma constante é igual a zero;
• na segunda regra, a derivada de um monômio de grau 1 é igual ao seu coeficiente;
• na terceira regra, a derivada de um monômio de grau superior a 1 é igual ao  produto do expoente pelo coeficiente, menos uma unidade no expoente;
• na quarta regra, a derivada da soma de duas parcelas é igual a soma da derivada dessas parcelas;
• na quinta regra, a derivada do produto entre dois fatores é igual ao produto da derivada do primeiro fator pelo segundo fator adicionado ao produto da derivada do segundo fator pelo primeiro fator.
• na sexta regra, a derivada do quociente entre dois fatores é igual ao produto da derivada do primeiro fator pelo segundo fator subtraído ao produto da derivada do segundo fator pelo primeiro fator, tudo dividido pelo quadrado do segundo fator.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.