Question

-√2 é um número irracional?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Sim.

Existem diversas maneiras de provar isso.

Irei expor a demonstração clássica.

Suponha que ele seja racional, ou seja, possa ser expresso com a razão entre dois números inteiros a e b, isto é

$- \sqrt{2} = \frac{a}{b}$

Em que a e b estão simplificados ao máximo (são primos entre si).

Assim, elevando ao quadrado:

$( - \sqrt{2} {)}^{2} = ( \frac{a}{b} {)}^{2}$

$2 = \frac{ {a}^{2} }{ {b}^{2} }$

${a}^{2} = 2 {b}^{2}$

Observe que a é par, pois é múltiplo de 2, ou seja, a é da forma

$a = 2p$

Substituindo:

$(2p {)}^{2} = 2 {b}^{2}$

$4 {p}^{2} = 2 {b}^{2}$

Dividindo tudo por 2:

$2 {p}^{2} = {b}^{2}$

Observe que b também é par, pois é múltiplo de 2.

Com isso, a gente chega em um absurdo pois, havíamos supostos que a e b são primos entre si. Portanto, eles não podem ser par.

A conclusão é que

$- \sqrt{2}$

Não é racional, portanto, é um número irracional.