Question

2- Determine x para que estejam definidos:


a) ㏒(2x+8)

b) ㏒ₓ(x²-3x-4)

c) ㏒₍₃ₓ₋₆₎ 15

d) ㏒₍₅ₓ₊₃₅₎ (4x-8)


OBS: Cálculo completo de cada uma, por favor.

Answer 1

Para que o logaritmo esteja bem definido, é necessário que as suas condições de existência sejam respeitadas.

Vamos lembrar que condições são essas:

(1)  O logaritmando deve ser positivo, ou seja, deve ser maior que 0.

(2) A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, deve ser maior que 0 excetuando o numero 1.

Assim, no logaritmo genérico  $log_{_b}\,a$ , temos:

$\left\{\begin{array}{ccc}a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}$

Podemos agora passar aos exercícios propostos.

a)

Utilizando a condição (1):

$2x+8~>~0\\\\\\2x~>~-8\\\\\\x~>~\dfrac{-8}{2}\\\\\\\boxed{x~>\,-4}$

b)

Utilizando a condição (1):

$x^2-3x-4~>~0\\\\\\As~raizes~para~a~funcao~~y=x^2-3x-4, sao~x'=4~~e~~x''=-1\\Portanto,~teremos~x^2-3x-4~positivo~(ver~anexo~1)~para:\\\\x~>~x'~~\rightarrow~~\boxed{x>4}\\\\e\\\\x~<~x''~\rightarrow~~\boxed{x<-1}$

Utilizando a condição (2):

$\boxed{x~>~0}\\\\\boxed{x~\ne~1}$

As três condições precisam ser satisfeitas, ou seja, pra existência do log vamos utilizar a intersecção entre os intervalos achados:

Podemos ver pelo anexo 2 que a interseção será:

$\boxed{x<-1~\,\cup~\,x>4}$

c)

Como o logaritmando é maior que 0, só precisamos verificar a condição (2):

$3x-6~>~0\\\\\\3x~>~6\\\\\\x~>~\dfrac{6}{3}\\\\\\\boxed{x~>~2}\\\\e\\\\\boxed{x~\ne~1}$

Novamente, todas condições precisam ser satisfeitas, logo precisamos da interseção entre x>2 e x≠1 .

A interseção será o intervalo x>2.

d)

Utilizando a condição (1):

$4x-8~>~0\\\\\\4x~>~8\\\\\\x~>~\frac{8}{4}\\\\\\\boxed{x~>~2}$

Utilizando a condição (2):

$5x+35~>~0\\\\\\5x~>~-35\\\\\\x~>~\dfrac{-35}{5}\\\\\\\boxed{x~>\,-7}\\\\e\\\\\boxed{x~\ne~1}$

Tomando a interseção dos três intervalos teremos como o intervalo x>2.

Respostas:

a) x > -4

b) x < -1 U x > 4

c) x > 2

d) x > 2