Question

2) Determine o valor de m para os pontos A (-2;m) B( 2;-4) e C(3;6):
a) Estejam alinhados.


b) Sejam vértice de um triângulo qualquer. A(K,7) B(2,-3) C (k,1)​

Answer 1

a)

Para que 3 pontos estejam alinhados, o determinante da matriz formada por estes pontos (abaixo) deve valer 0 (zero). Vamos então montar esta matriz e igualar o determinante a 0:

$\left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|~=~0\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}-2&m&1\\2&-4&1\\3&6&1\end{array}\right|~=~0\\\\\\(~(-2).(-4).1+2.6.1+3.m.1~)~-~(~1.(-4).3+1.6.(-2)+1.m.2~)~=~0\\\\\\(~8+12+3m~)~-~(~-12-12+2m~)~=~0\\\\\\8+12+3m+12+12-2m~=~0\\\\\\m+44~=~0\\\\\\\boxed{m~=~-44}$

b)

Para que 3 pontos possam formar um triangulo, estes pontos não podem estar alinhados, logo:

$\left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|~\ne~0\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}k&7&1\\2&-3&1\\k&1&1\end{array}\right|~\ne~0\\\\\\(~k.(-3).1+2.1.1+k.7.1~)~-~(~1.(-3).k+1.1.k+1.7.2~)~\ne~0\\\\\\(~-3k+2+7k~)~-~(~-3k+k+14~)~\ne~0\\\\\\-3k+2+7k+3k-k-14~\ne~0\\\\\\6k-12~\ne~0\\\\\\6k\ne12\\\\\\\boxed{k\ne2}$