Question

2- Determine o valor de b de maneira que os pontos a(2,1), B(6,1) e C(3,b) seja, vértices de um triangulo retângulo contido no 1° quadrante

Answer 1

a) Determine a equação da reta r que passa por A e C e seu coeficiente angular:

$\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&1&1\\3&b&1\end{array}\right|=0\\ \\ x+3y+2b-3-2y-bx=0\\ \\ (1-b)x+y+(2b-3)=0\\ \\ y=(b-1)x+(3-2b)\\ \\ m_r=b-1$

b) Determine a equação da reta s que passa por B e C e seu coeficiente angular:

$\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\6&1&1\\3&b&1\end{array}\right|=0\\ \\ x+3y+6b-3-6y-bx=0\\ \\ (1-b)x-3y+(6b-3)=0\\ \\ m_s=\frac{1-b}{3}$

c) As retas r e s são perpendiculares, então  $m_r*m_s=-1$

$b-1*\frac{1-b}{3}=-1\\ \\ (b-1)(1-b)=-3\\ \\ -b^2+2 b-1=-3\\ \\ -b^2+2 b-1+3=0\\ \\ -b^2+2b+2=0\\ \\ S=\{1-\sqrt3;1+\sqrt3\}$

Porém das duas soluções apenas uma delas atende a exigência de que o triângulo está no primeiro quadrante que é $1+\sqrt3$