Question

2) Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).

Answer 1

A altura do tetraedro é 3√10/10.

Primeiramente, vamos determinar os vetores AB, AC e AD:

AB = (-1,-5,3)

AC = (1,-2,2)

AD = (-1,3,-1).

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre AB e AC:

AB x AC = -4i -5j + 7k

AB x AC = (-4,-5,7).

Calculando o produto interno entre AB x AC e AD, obtemos:

<AB x AC, AD> = (-4).(-1) + (-5).3 + 7.(-1)

<AB x AC, AD> = 4 - 15 - 7

<AB x AC, AD> = -18.

Logo, o volume do tetraedro é igual a:

V = |-18|/6

V = 18/6

V = 3.

Sabemos que o volume do tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Para calcularmos a área da base, basta calcular a norma do produto vetorial AB x AC:

||AB x AC||² = (-4)² + (-5)² + 7²

||AB x AC||² = 16 + 25 + 49

||AB x AC||² = 90

||AB x AC|| = 3√10.

Logo,

3 = 1/3.3√10.h

3 = √10h

h = 3√10/10.