Question

2)Dados os pontos A (6, 2 ) , B( 2, 4 ) e C (4, - 2), vértices de um triângulo, resolva :
a) Represente os pontos A, B e C num gráfico e trace um triângulo e suas medianas;
b) Calcule o comprimento da mediana AM;
c) Calcule o comprimento da mediana BM;
d) Calcule o comprimento da mediana CM;
e) Determine o baricentro G.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Sejam os pontos $A~(6,~2)$, $B~(2,~4)$ e $C~(4,~-2)$ vértices de um triângulo.

a) Represente os pontos A, B e C num gráfico e traçar suas medianas.

Observe o gráfico em anexo: As medianas são os segmentos do triângulo que unem o vértice ao ponto médio do segmento que une os dois outros vértices, ou seja, ao ponto médio do segmento oposto a ele.

Para encontrarmos os pontos médios, utilizaremos as fórmulas:

$x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$

O ponto médio do segmento $\overline{AB}$ tem coordenadas:

$x_M=\dfrac{6+2}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{2+4}{2}$

Some os valores

$x_M=\dfrac{8}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{6}{2}$

Simplifique as frações

$x_M=4~~~~~~y_M=3\\\\\\ M_{AB}}~(4,~3)$

Da mesma forma, fazemos para o segmento $\overline{AC}$

$x_M=\dfrac{6+4}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{2-2}{2}$

Some os valores

$x_M=\dfrac{10}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{0}{2}$

Simplifique as frações

$x_M=5~~~~~~y_M=0\\\\\\ M_{AC}~(5,~0)$

Por fim, repetimos o processo para o segmento $\overline{BC}$:

$x_M=\dfrac{2+4}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{4-2}{2}$

Some os valores

$x_M=\dfrac{6}{2}~~~~~~y_M=\dfrac{2}{2}$

Simplifique as frações

$x_M=3~~~~~~y_M=1\\\\\\ M_{BC}~(3,~1)$

b) Para calcularmos o comprimento da mediana $\overline{AM}$, utilizamos a fórmula de distância entre dois pontos, dada por $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Utilizando os pontos $A~(6,~2)$ e $M_{BC}~(3,~1)$, teremos:

$d_{AM}=\sqrt{(6-3)^2+(2-1)^2}$

Some os valores dentro dos parênteses

$d_{AM}=\sqrt{3^2+1^2}$

Calcule as potências

$d_{AM}=\sqrt{9+1}$

Some os valores

$d_{AM}=\sqrt{10}$

Esta é a medida desta mediana.

c) Da mesma forma, para calcularmos o comprimento da mediana $\overline{BM}$, utilize a fórmula e os pontos $B~(2,~4)$ e $M_{AC}~(5,~0)$

$d_{BM}=\sqrt{(2-5)^2+(4-0)^2}$

Some os valores dentro dos parênteses

$d_{BM}=\sqrt{(-3)^2+4^2}$

Calcule as potências

$d_{BM}=\sqrt{9+16}$

Some os valores

$d_{BM}=\sqrt{25}$

Calculando a raiz, temos

$d_{BM}=5$

d) Para o comprimento da mediana $\overline{CM}$, repetimos o processo com os pontos $C~(4,~-2)$ e $M_{AB}~(4,~3)$.

$d_{CM}=\sqrt{(4-4)^2+(-2-3)^2}$

Some os valores dentro dos parênteses

$d_{CM}=\sqrt{0^2+(-5)^2}$

Calcule as potências

$d_{CM}=\sqrt{0+25}$

Some os valores

$d_{CM}=\sqrt{25}$

Calculando a raiz, temos

$d_{CM}=5$

e) Para determinarmos as coordenadas do baricentro $G~(x_G,~y_G)$, que é o encontro das medianas do triângulo, utilizamos as fórmulas:

$x_G=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}~~~~~~y_G=\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}$

Substituindo as coordenadas dos pontos A, B e C, temos

$x_G=\dfrac{6+2+4}{3}~~~~~~y_G=\dfrac{2+4-2}{3}$

Some os valores

$x_G=\dfrac{12}{3}~~~~~~y_G=\dfrac{4}{3}$

Simplifique as frações

$x_G=4~~~~~~y_G=\dfrac{4}{3}$

Estas são as coordenadas do baricentro $G~\left(4,~\dfrac{4}{3}\right)$.