Question

2) Dada a reta (r) 2x-3y+6=0, determine:
a) o ponto A de abscissa -2.
b) o ponto B onde r intercepta o eixo X.
c) o ponto C onde r intercepta o eixo Y.
d) o ponto D onde r intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
e) o ponto E onde r intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.

Answer 1

Resposta:

a) A(-2, 2/3)

b) B(-3, 0)

c) C(0, 2)

d) D(6, 6)

e) E(-6/5, 6/5)

Explicação passo-a-passo:

a) Para descobrir o ponto A de abscissa = -2, ou seja x = -2, basta substituir o x por -2 na equação da reta:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ 2( - 2) - 3y + 6 = 0 \\ - 4 - 3y + 6 = 0 \\ - 3y + 2 = 0 \\ - 3y = - 2 \\ y = \frac{ - 2}{ - 3} \\ y = \frac{2}{3}$

Logo o ponto A(x, y) têm:

$x = - 2 \\ y = \frac{2}{3}$

b) Um ponto B, intercepta o eixo X das abscissas quando:

$y = 0$

Logo basta substituir o y por 0 na equação da reta:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ 2x - 3 \times 0 + 6 = 0 \\ 2x + 6 = 0 \\ 2x = - 6 \\ x = \frac{ - 6}{2} \\ x = - 3$

Logo o ponto B(x, y) têm:

$x = - 3 \\ y = 0$

c) Um ponto C, intercepta o eixo Y das ordenadas quando:

$x = 0$

Logo basta substituir o x por 0 na equação da reta:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ 2 \times 0 - 3y + 6 = 0 \\ - 3y + 6 = 0 \\ - 3y = - 6 \\ y = \frac{ - 6}{ - 3} \\ y = 2$

Logo o ponto C(x, y) têm:

$x = 0 \\ y = 2$

d) Para descobrir o ponto de intersecção da reta (r) 2x - 3y + 6 = 0, vamos resolver um sistema entre a equação da reta (r) e a equação da bissetriz dos quadrantes ímpares.

Sabendo que a equação da bissetriz ímpar é:

$y = x \\ y - x = 0$

resolvendo o sistema:

$2x - 3y + 6 =0 \\ y - x = 0$

vamos descobrir o ponto que as retas têm em comum.

Primeiro multiplicamos a segunda equação por 2 para zerar o termo x e acharmos o y do ponto:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ - x + y = 0 \: (. \: 2)$

já isolando os termos independentes (que nao sao acompanhados de x ou y) teremos:

$2x - 3y = - 6 \\ - 2x + 2y = 0$

agora somamos as equações:

$2x + (- 2x) = 0x \\ - 3y + 2y = -1 y \\ - 6 + 0 = - 6$

teremos a equação resultante:

$- 1y = - 6$

com essa equação podemos descobrir o y do ponto de intersecção:

$- 1y = - 6 \\ y = \frac{ - 6}{ - 1} \\ y = 6$

agora sabendo que o ponto de intersecção esta na bissetriz dos ímpares e um ponto pertencente a essa bissetriz têm:

$x = y$

podemos concluir que:

$x = 6$

ou para ter maior certeza podemos calcular o x substituindo o y por 6 na equação da reta r para descobrir o x do ponto de intersecção:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ 2x - 3 \times 6 + 6 = 0 \\ 2x - 18 + 6 = 0 \\ 2x - 12 = 0 \\ 2x = 12 \\ x = \frac{12}{2} \\ x = 6$

Logo o ponto D(x, y) de intersecção das retas tem:

$x = 6 \\ y = 6$

e) Para descobrir o ponto de intersecção da reta (r) 2x - 3y + 6 = 0, vamos resolver um sistema entre a equação da reta (r) e a equação da bissetriz dos quadrantes pares.

Sabendo que a equação da bissetriz par é:

$y = - x \\ y +x = 0$

resolvendo o sistema:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ y + x = 0$

vamos descobrir o ponto que as retas têm em comum.

Primeiro multiplicamos a segunda equação por 3 para zerar o termo y e acharmos o x do ponto:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ x + y = 0 \: (. \: 3)$

já isolando os termos independentes (que nao sao acompanhados de x ou y) teremos:

$2x - 3y = - 6 \\ 3x + 3y = 0$

agora somamos as equações:

$2x + 3x = 5x \\ - 3y + 3y = 0y \\ - 6 + 0 = - 6$

teremos a equação resultante:

$5x = - 6$

com essa equação podemos descobrir o x do ponto de intersecção:

$5x = - 6 \\ x = - \frac{6}{5}$

agora sabendo que o ponto de intersecção esta na bissetriz dos pares e um ponto pertencente a essa bissetriz têm:

$y = - x$

podemos concluir que:

$y = \frac{6}{5}$

ou para ter maior certeza podemos calcular o y substituindo o x por -6/5 na equação da reta r para descobrir o y do ponto de intersecção:

$2x - 3y + 6 = 0 \\ 2 \times ( - \frac{6}{5}) - 3y+ 6 = 0 \\ - \frac{12}{5} - 3y + 6 = 0 \\ - 3y + \frac{18}{5} = 0 \\ -3y = -\frac{18}{5} \\ y = \frac{-\frac{18}{5}}{-3}\\ y = -\frac{18}{5} × (-\frac{1}{3})\\ y = \frac{18}{15}$

dividindo por 3 para simplificar a fração:

$y = \frac{18}{15} (÷ 3) \\ y = \frac{6}{5}$

Logo o ponto E(x, y) de intersecção das retas tem:

$x = -\frac{6}{5} \\ y = \frac{6}{5}$