Question

2-) Dada a função f(x) = (5x^3 - 3x^2 + 1)^3 + sen (x^2), calcular f'(x).

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) =( 5x {}^{3} - 3x {}^{2} + 1) {}^{3} + sen (x {}^{2} )$

A questão pede para derivarmos essa função, primeiramente observe que temos duas funções compostas, ou seja, teremos que usar a regra da cadeia duas vezes, primeiro vamos começar com a dedicação da função maior:

$\sf s(x) = (5 {x}^{3} - 3x {}^{2} + 1) {}^{3}$

A regra da cadeia nos diz que:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$

Então vamos nomear as funções:

$\sf u = 5x {}^{3} - 3x {}^{2} + 1 \: \: \: \: e \: \: \: s = u {}^{3}$

Aplicando na regra da cadeia:

$\sf \frac{ds}{dx} = \frac{ds}{du} . \frac{du}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{ds}{dx} = \frac{d}{du} u {}^{3} . \frac{d}{dx} (5x {}^{3} - 3x {}^{2} + 1 ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{ds}{dx} = 3u {}^{2} .(15x {}^{2} + 6x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{ds}{dx} = 3(5x {}^{3} - 3x {}^{2} + 1) {}^{2} .(15 {x}^{2} + 6x)$

Agora é só derivar a outra função:

$\sf c(x) = sen(x {}^{2} ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf u = x {}^{2} \: \: e \: \: c = sen(u)$

Aplicando na regra:

$\sf \frac{dc}{dx} = \frac{dc}{du}. \frac{du}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dc}{dx} = \frac{d}{du} sen(u). \frac{d}{dx} x {}^{2} \\ \\ \sf \frac{dc}{dx} = cos(u).2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dc}{dx} = cos(x {}^{2} ).2x \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Organizando tudo temos que:

$\sf f'(x) = 3(5x {}^{3} - 3x {}^{2} + 1) {}^{2} .(15 {x}^{2} + 6x) + cos(x {}^{2} ).2x$

Espero ter ajudado