Question

2 - Considere uma placa de trânsito na forma de um hexágono regular com lados de L centímetros. Sabe-se que um hexágono regular de lados L é formado por seis triângulos equiláteros de lados L. Como a leitura desta sinalização (placa) depende da área A da placa, temos que A, em função do comprimento L, é dada por uma das alternativas abaixo. Escreva a alternativa de sua resposta. * 5 pontos Imagem sem legenda

Answer 1

Resposta:

b) $\frac{3\sqrt{3}}{2}l^{2}$ cm²

Explicação passo-a-passo:

Baseado no enunciado da questão, podemos afirmar que:

                                    $A_{hex} = 6.A_{t}$

onde,

$A_{hex}$ = Área do hexágono

$A_{t}$ = Área do triângulo

Imaginemos um triângulo equilátero (03 lados iguais):

         /|\

   $l$   /   |  \ $l$

   /   h |     \

/____|____\

         $l$

A área do triângulo é $A_{t} = \frac{b.h}{2}$, onde

$b$ = base

$h$ = altura

Como não sabemos o valor da altura, vamos calcular através do Teorema de Pitágoras, já que a altura $h$ divide um dos lados ao meio:

$l^{2} = h^{2} + (\frac{l}{2})^{2}\\\\l^{2} = h^{2} + \frac{l^{2}}{2^{2}}\\\\l^{2} = h^{2} + \frac{l^{2}}{4}\\\\l^{2} - \frac{l^{2}}{4} = h^{2}\\\\\frac{3}{4}l^{2} = h^{2}\\\\h = \sqrt{\frac{3}{4}l^{2}}\\\\h = \frac{l}{2}\sqrt{3}$

$b = l\\h = \frac{l}{2}\sqrt{3}$

Área do Triângulo

$A_{t} = \frac{l.\frac{l}{2}\sqrt{3}}{2}\\\\A_{t} = \frac{\frac{l^{2}}{2}\sqrt{3}}{2}\\\\A_{t} = \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Área do Hexágono

$A_{hex} = 6.A_{t}\\\\A_{hex} = 6.\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\\\\A_{hex} = 3.\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\\\\A_{hex} = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^{2}$