Question

2) Considere uma função quadrática f: R → R, definida por f(x) = x2-3x+2.
a) Em qual intervalo real essa função é crescente?
b) Determine o conjunto imagem dessa função.​

Answer 1

Resposta:

a)   {x ∈ R / x > 3/2}

b)   Im(f) = {y ∈ R / y ≥ - 1/4}

Explicação passo a passo:

Para compreender os intervalos de comportamento dessa parábola, é necessária a identificação dos pontos de destaque (raízes e vértice)

f(x) = x² - 3x + 3         Coeficientes:   a = 1      b = -3     c = 2

Δ = (-3)² - 4 · 1 · 2

Δ = 9 - 8

Δ = 1       ⇒       √Δ = √1 = 1

x = [-(-3) ± 1]/(2 · 1)      ∴       x = (3 ± 1)/2

x₁ = (3 - 1)/2       ∴       x₁ = 2/2       ∴        x₁ = 1                  (1 , 0)

x₂ = (3 + 1)/2      ∴       x₂ = 4/2      ∴        x₂ = 2                 (2 , 0)

xv = -(-3)/(2 · 1)      ∴       xv = 3/2    ou     1,5      

yv = -1/(4 · 1)        ∴      yv = -1/4       ou     -0,25

a>0   ⇒    Concavidade para cima, portanto ela possui um ponto de mínimo em V(3/2 , -1/4) e pelo ponto V (vértice) também passa o eixo de simetria.

Duas formas de identificar que nessa coordenada x a função passa de decrescente para crescente.

A coordenada y do vértice é o menor valor possível para imagem de f.

a)   A função é crescente no intervalo:    {x ∈ R / 3/2 < x < ∞}   ou pode escrever assim   {x ∈ R / x > 3/2}

b)   Im(f) = {y ∈ R / y ≥ - 1/4}