Question

2)Considere a equação diferencial y” + 2y’ + 3y = 0.

Assinale a alternativa que fornece a sua solução y(x).

Alternativas:

a)y(x) = c1 e2x + c2 e-2x.

b)y(x) = c1 e1,4x + c2 x e1,4x.

c)y(x) = c1 + c2 e2x.

d)y(x) = c1 sen(1,4x) + c2 cos(1,4x).

e)y(x) = e-x [c1 sen(1,4)x + c2 cos(1,4x)).

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais.

Devemos encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial ordinária linear e homogênea de segunda ordem: $y''+2y'+3y=0$.

Primeiro, suponha que a solução desta equação seja da forma $y=y(x)=e^{\lambda x}$.

Calculando a primeira e segunda derivadas desta função, temos:

$y'=(e^{\lambda x})' = (\lambda \cdot x)'\cdot e^{\lambda x}=\lambda\cdot e^{\lambda x}\\\\\\ y'' = (\lambda \cdot e^{\lambda x})' = \lambda \cdot(\lambda x)'\cdot e^{\lambda x}={\lambda}^2\cdot e^{\lambda x}$

Substituindo estes dados na equação, temos:

${\lambda}^2\cdot e^{\lambda x}+2\cdot\lambda \cdot e^{\lambda x}+3\cdot e^{\lambda x}=0$

Fatoramos a equação colocando $e^{\lambda x}$ em evidência

$e^{\lambda x}\cdot ({\lambda}^2+2\lambda + 3)=0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero, porém a função $e^{\lambda x}$ é estritamente positiva, logo:

${\lambda}^2+2\lambda + 3 = 0$

Resolvendo esta equação quadrática, também chamada de equação característica, temos:

$\lambda =\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot 3}}{2}\\\\\\ \lambda = \dfrac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}\\\\\\ \lambda =\dfrac{-2\pm2i\sqrt{2}}{2}\\\\\\ \lambda =-1\pm i\sqrt{2}$

Fazendo $y=e^{(-1\pm\sqrt{2}i)\cdot x}$, efetuamos a propriedade distributiva da multiplicação:

$y=e^{-x\pm\sqrt{2}i\cdot x}$

Aplicamos a propriedade de potências: $e^{a+b} = e^a\cdot e^b$ e $e^{a-b}=e^{a}\cdot e^{-b}$

$y_1=e^{-x}\cdot e^{\sqrt{2}ix}\\\\\\ y_2=e^{-x}\cdot e^{-\sqrt{2}ix}$

Reescrevemos a potência em forma trigonométrica, utilizando a Fórmula de Euler: $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$

$y_1=e^{-x}\cdot(\cos(\sqrt{2}x)+i\sin(\sqrt{2}x))\\\\\\ y_2=e^{-x}\cdot(\cos(-\sqrt{2}x)+i\sin(-\sqrt{2}x))$

Sabendo que as funções cosseno e seno são, respectivamente, par e ímpar, temos: $\cos(-\sqrt{2}x)=\cos(\sqrt{2}x)$ e $\sin(-\sqrt{2}x)=-\sin(\sqrt{2}x)$

$y_1=e^{-x}\cdot(\cos(\sqrt{2}x)+i\sin(\sqrt{2}x))\\\\\\ y_2=e^{-x}\cdot(\cos(\sqrt{2}x)-i\sin(\sqrt{2}x))$

A solução desta equação diferencial é dada por $y(x)=c_1\cdot y_1+c_2\cdot y_2$, assim teremos:

$y=c_1\cdot e^{-x}(\cos(\sqrt{2}x)+i\sin(\sqrt{2}x))+c_2\cdot e^{-x}(\cos(\sqrt{2}x)-i\sin(\sqrt{2}x))$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e fatore a expressão colocando $e^{-x}$ em evidência:

$y(x)=e^{-x}\cdot(c_1\cdot\cos(\sqrt{2}x)+c_1\cdot i\sin(\sqrt{2}x))+c_2\cdot\cos(\sqrt{2}x)-c_2\cdot i\sin(\sqrt{2}x))\\\\\\ y(x) = e^{-x}\cdot((c_1+c_2)\cos(\sqrt{2}x)+(c_1i-c_2i)\sin(\sqrt{2}x))$

Considere $c_1+c_2=c_3$ e $c_1i-c_2i=c_4$, logo teremos:

$y(x)=e^{-x}\cdot(c_3\cos(\sqrt{2}x)+c_4\sin(\sqrt{2}x))$

Utilizando a aproximação $\sqrt{2}\approx1,4$, finalmente teremos:

$y(x)=e^{-x}\cdot(c_3\cos(1,4x)+c_4\sin(1,4x)),~c_3,~c_4\in\mathbb{C}$

Esta é a solução desta equação diferencial e é a resposta contida na letra e).