Question

2.
Com os conteúdos de Geometria trabalhados até o Ensino Médio, não é possível calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Para calcular áreas desse tipo, é preciso utilizar a noção de integral definida, estudada nas disciplinas de Cálculo. Um exemplo é o cálculo da área do plano limitada pelos gráficos definidos por x = y² e y = x². Sobre o valor correto desta área, analise as opções a seguir:

I- Raiz de 3.
II- Raiz de 2.
III- 1/2.
IV- 1/3.

Assinale a alternativa CORRETA:

a) Somente a opção IV está correta.

b) Somente a opção II está correta.

c) Somente a opção III está correta.

d) Somente a opção I está correta.

Answer 1

Resposta:

1/3

Explicação passo-a-passo:

A região é delimitada por duas parábolas. Primeiro calculamos sua intersecção para determinar os limites de integração

Resolvendo o sistema

x = y²

y = x²

encontramos os pontos (0,0) e (1,1) como soluções.  Daí podemos expressar  a área desejada como a integral

$\displaystyle \int _0^1 \sqrt x - x^2 \, dx = \dfrac 23 x^{\frac 32} - \dfrac {x^3}3 \Bigg|_0^1 = \dfrac 13$

Outra maneira de se resolver é observar que a região delimitada pelas parábolas é simetria. Ou seja, considerando o quadrado [0,1] x [0,1], a região acima e abaixo da delimitada pelas parábolas tem a mesma área. Logo, a área desejada pode ser calculada por

$1 - 2 \displaystyle \int_0^1 x^2 \, dx = \dfrac 13$