Question

2) Calcule a ∫ f(x)dx para cada uma das questões abaixo.

Answer 1

Cálculo de integral indefinida é basicamente encontrar primitiva para a função dada.

Existem várias primitivas básicas. Aqui vão as que precisarei usar:

$\bullet\;\;\displaystyle\int{x^{n}\,dx}=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\,,&\text{se }n\ne -1\\\\ \mathrm{\ell n}\,|x|\,,&\text{se }n=-1 \end{array} \right.\\\\\\\\ \bullet\;\;\int{a^{x}\,dx}=\dfrac{a^{x}}{\mathrm{\ell n}(a)}\,,~~~~\text{ com }a>0\text{ e }a\neq 1.$


Não podemos esquecer de adicionar a constante de integração ao final do cálculo da integral indefinida.

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a) $\displaystyle\int{(x^{8}-5^{x}+1)\,dx}$

$=\displaystyle\int{x^{8}\,dx}-\int{5^{x}\,dx}+\int{1\,dx}\\\\\\ =\dfrac{x^{8+1}}{8+1}-\dfrac{5^{x}}{\mathrm{\ell n(5)}}+x+C\\\\\\ =\dfrac{x^{9}}{9}-\dfrac{5^{x}}{\mathrm{\ell n(5)}}+x+C$

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b) $\displaystyle\int{\left(\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x} \right )dx}$

$=\displaystyle\int{(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1})\,dx}\\\\\\ =\int{x^{-3}\,dx}+\int{x^{-2}\,dx}+\int{x^{-1}\,dx}\\\\\\ =\dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}+\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+\mathrm{\ell n}\,|x|+C\\\\\\ =\dfrac{x^{-2}}{-2}+\dfrac{x^{-1}}{-1}+\mathrm{\ell n}\,|x|+C\\\\\\ =-\dfrac{1}{2}\,x^{-2}-x^{-1}+\mathrm{\ell n}\,|x|+C\\\\\\ =-\dfrac{1}{2x^{2}}-\dfrac{1}{x}+\mathrm{\ell n}\,|x|+C$

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Obs.: Nas duas questões, $C$ é a constante de integração.