Question

2) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = Ѵx²+9 no ponto de abscissa x₀=4


3) Uma esteira está transportando areia e despejando-a em forma de um cone. O raio da base r=r(t) e a altura h=h(t) variam com o tempo. No instante em que a altura vale 10 cm, ela está aumentando a uma taxa de 2cm/s e, nesse mesmo instante, o raio da base vale 12cm e está aumentando a uma taxa de 1cm/s. Calcule a taxa de variação do volume do cone neste instante. Adote π = 3

Answer 1

Olá!

Calculamos a imagem de x = 4:

f(4) = √(4² + 9) = √25 = 5

O ponto a ser analisado é (4, 5).

Calculamos a inclinação da reta no ponto pela derivada primeira avaliada em x = 4:

$f(x) =\sqrt u, \ \ u = x^2+9\\ \\ f'(x) = \dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{\not 2\sqrt u}\cdot \not 2x \\ \\ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\\ \\ \\ f'(4) = \dfrac{4}{\sqrt{4^2+9}} = \dfrac{4}{5}$

O coeficiente angular vale 4/5. Na equação da reta tangente:

y = y₀ + f'(x₀) (x - x₀)

y = 5 + (4/5)(x - 4)

y = (4/5).x - 9/5.


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Esse primeiro exercício não é tão sofisticado, e minha solução foi mais direta. Fiz isso para poupar espaço para o segundo, que é mais interessante.

O problema refere-se a taxas relacionadas, quando podemos comparar diferentes taxas de variação. Vamos organizar os dados para ficar mais claro:

$t_0: h_0 = 10\ cm, \ r_0 = 12\ cm\\ \\ \\ \dfrac{dh}{dt} = 2 \ cm/s\\ \\ \dfrac{dr}{dt} = 1 \ cm/s\\ \\ \dfrac{dV}{dt} = ?$

Sabemos que o volume do cone é:

$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h , \ \text{mas \ }\pi = 3, \text{no caso}\\ \\ \\ V = r^2h$

Para diferenciarmos, precisamos notar que r e h são funções do tempo. Assim, precisaremos da regra do produto:

$\dfrac{dV}{dt}= \dfrac{d}{dt}(r^2) h + r^2\dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt} = 2rh\dfrac{dr}{dt} + r^2\dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ Dados\to Contas\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt} = 2rh\cdot 1 + r^2\cdot 2 = 2rh + 2r^2$

Para r = 12 cm e h = 10 cm:

$\dfrac{dV}{dt}_{t = t_0} = 2.12.10 + 2.12^2 = 240 + 288\\ \\ \\ \boxed{\frac{dV}{dt}_{t=t_0} = 528 ~~ cm^3/s}$