Question

2) Calcule a area do triangulo de vértices A = (1.2), B = (2,4) C = (4.1).
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 4
e) 9/2​

Answer 1

Item C) 7/2

Essa questão envolve a Geometria Analítica, que calcula a área de um triângulo a partir da divisão entre o discriminante dos vértices e 2.

 Ou seja:   $A \ \ = \ \ \frac{| \ D \ |}{2}$

O determinante dos vértices é representado por D, sendo:

 $D \ \ = \ \ \left[\begin{array}{ccc}xA&yA&1\\xB&yB&1\\xC&yC&1\end{array}\right]$        

Portanto:

$D \ \ = \ \ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&4&1\\4&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&4\\4&1\end{array}\right]$

Que pode ser alinhado seguindo a Regra de Sarrus:

$det \ \ = \ \ det_p \ - \ det_s \\\\ det \ \ = \ \ [ \ (1 \ \times \ 4 \ \times \ 1) \ + \ (2 \ \times \ 1 \ \times \ 4) \ + (1 \ \times \ 2 \ \times \ 1) \ ] \\\\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ [ \ - \ (1 \ \times \ 4 \ \times \ 4) \ - \ (1 \ \times \ 1 \ \times \ 1) \ - \ (2 \ \times \ 2 \ \times \ 1) \ ]$

$det \ \ = \ \ [ \ 4 \ + \ 8 \ + \ 2 \ ] \ + \ [ \ - \ 16 \ - \ 1 \ - \ 4 \ ] \\\\ det \ \ = \ \ 14 \ + \ (-21) \\\\ det \ \ = \ \ 14 \ - \ 21 \\\\ det \ \ = \ \ -7$

Agora, sabendo o valor do discriminante, vamos calcular a área do triângulo baseado na fórmula explicada inicialmente:

 $A \ \ = \ \ \frac{| \ D \ |}{2} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ A \ \ = \ \ \frac{| \ - 7 \ |}{2} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \boxed{ \ A \ \ = \ \ \frac{7}{2} \ }$