Question

2) Calcule a área da região limitada pela função x2 + y +4 = 0 e y = - 8 com relação
ao eixo y. Esboce o gráfico da função e identifique área a ser calculada.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{32}{3}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos calcular a área da região limitada pelas funções em relação ao eixo $y$. Para isso, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região limitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$. Sua área é calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D\,dA$.

De acordo com o Teorema de Fubini, o elemento $dA$ pode assumir duas ordens distintas, o que altera também os limites de integração. Lembre-se que cada integral terá seus limites relacionado com a variável relacionada.

Lembre-se que a última variável a ser integrada deve apresentar limites numéricos.

Como buscamos a área desta região em relação ao eixo $y$, utilizaremos a ordem de integração $dA=dx\,dy$ e consideramos as funções $x=f(y)$ e $x=g(y)$, tal que para o intervalo $a\leq y\leq b$, $f(y)\geq g(y)$. Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_a^b\int_{g(y)}^{f(y)}\,dx\,dy$

Sejam as funções $x^2+y+4=0$ e $y=-8$. Para encontrarmos os respectivos limites de integração, isolamos a expressão em $x$:

$x^2=-4-y$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$x=\pm~\sqrt{-4-y}$

Dessa forma, os limites de integração serão $-\sqrt{-4-y}\leq x\leq \sqrt{-4-y}$.

Os limites de integração em $y$ estão definidos inferiormente por $y=-8$. O outro limite de integração será encontrado ao calcularmos o vértice da parábola: $y=-x^2-4$

Para isso, lembre-se que $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$, tal que em uma equação quadrática incompleta $y=ax^2+c$, seu vértice será dado por $y=c$.

Assim, os limites de integração em relação à variável $y$ serão $-8\leq y\leq -4$.

A área desta região será calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_{-8}^{-4}\int_{-\sqrt{-4-y}}^{\sqrt{-4-y}}\,dx\,dy$

Para calcularmos estas integrais, utilizamos as técnicas já conhecidas: $\displaystyle{\int_a^b\,dx=b-a$

$\displaystyle{\int_{-8}^{-4}\sqrt{-4-y}-(-\sqrt{-4-y})\,dy$

Some os valores

$\displaystyle{\int_{-8}^{-4}2\sqrt{-4-y}\,dy$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.

$\displaystyle{2\cdot\int_{-8}^{-4}\sqrt{-4-y}\,dy$

Faça uma substituição $t=-4-y$. Diferenciamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $dt$:

$t'=(-4-y)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dy}=-1$

Multiplique ambos os lados por $-dy$

$-dt=dy$

Lembre-se que ao realizarmos uma mudança de variável, devemos alterar também os limites de integração. Quando $y\rightarrow-8,~t\rightarrow 4$ e quando $y\rightarrow-4,~t\rightarrow 0$. Nossa integral se torna:

$\displaystyle{2\cdot\int_{4}^{0}\sqrt{t}\cdot(-dt)$

Sabendo que $\displaystyle{-\int_a^b\,dx=\int_b^a\,dx$, temos

$\displaystyle{2\cdot\int_{0}^{4}\sqrt{t}\,dt$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ e lembre-se que $\Large{\boxed{\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}}$

$\displaystyle{2\cdot\dfrac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_0^4$

Some os valores

$\displaystyle{2\cdot\dfrac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_0^4$

Calcule a fração de frações

$\displaystyle{2\cdot\dfrac{2t^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_0^4$

Multiplique os valores e aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

$\dfrac{4\cdot4^{\frac{3}{2}}}{3}-\left(\dfrac{4\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}\right)$

Calcule as potências  e multiplique os valores

$\dfrac{32}{3}$

Esta é a área desta região delimitada entre estas funções.

Veja a imagem em anexo: O gráfico da função foi esboçado em azul no plano cartesiano, em vermelho vê-se a reta $y=-8$ e área da região delimitada foi identificada em laranja.