Question

2. Calcule: A) (1 + i)^2 + (1 – i) ^2 = B) Resolva a equação: x^4 – 1 = 0 Preciso das contas, por favor!!!!!!!!

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~0~|~b)~S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=1,~x=-1,~x=i,~x=-i\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades acerca de números complexos e soluções de uma equação polinomial.

a) $(1 + i)^2+(1-i)^2$

Para resolvermos esta, utilizaremos a expansão binomial. Lembre-se que $(a \pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ e que $i^2=-1$

Ficaremos com:

$1^2+2\cdot1\cdot i + i^2 + 1^2-2\cdot1\cdot i+i^2$

Aplique a propriedade discutida acima e some os termos semelhantes

$1+2i-1 + 1-2 i-1\\\\\\ 0$

Este é o valor da expressão

b) $x^4-1=0$

Considerando que o conjunto solução está contido no conjunto dos números complexos, encontraremos 4 soluções para $x$.

Some 1 em ambos os lados

$x^4=1$

Retire a raiz quártica em ambos os lados

$x=\pm\sqrt[4]{1}$

Para achar as raízes, utilizaremos a fórmula de De Moivre para a radiciação de números complexos.

Primeiro, devemos tornar o número real em um número complexo de forma algébrica. Neste caso:

$x=\pm\sqrt[4]{1+0i}$

Então, considerando $z=1+0i$ e sabendo que $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}\cdot(\cos \theta_k+i\cdot\sin\theta_k)$, tal que $\rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, $\theta_k=\dfrac{\theta+2\pi k}{n}$,  $k=\underbrace{0,~1,\cdots,~n}_{n-1~valores}$ e $k\in\mathbb{Z}$, teremos que:

• Calcular $\rho$ pela fórmula discutida acima

$\rho=\sqrt{1^2+0^2}\\\\\\ \rho =1$

• Encontrar o argumento $\theta$. Seja um número complexo da forma $z=a+bi$, sabemos que $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$. Substituindo os valores:

$\theta=\arctan\left(\dfrac{0}{1}\right)\\\\\\\theta=\arctan0\\\\\\ \theta=0$

Calculando as raízes pela fórmula descrita acima, temos:

$z_0=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\pi\cdot0}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\pi\cdot 0}{4}\right)\right)\\\\\\\ z_1=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\pi\cdot1}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\pi\cdot 1}{4}\right)\right)\\\\\\\ z_2=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\pi\cdot2}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\pi\cdot 2}{4}\right)\right)\\\\\\ z_3=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\pi\cdot3}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\pi\cdot 3}{4}\right)\right)$

Multiplique e some os valores

$z_0=\cos0+i\sin0\\\\\\\ z_1=\cos\left(\dfrac{2\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{4}\right)\\\\\\\ z_2=\cos\left(\dfrac{4\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{4}\right)\\\\\\ z_3=\cos\left(\dfrac{6\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{6\pi}{4}\right)$

Simplificando os valores

$z_0=\cos0+i\sin0\\\\\\\ z_1=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\\\\\\\ z_2=\cos\pi+i\sin\pi\\\\\\ z_3=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$

A partir dos nosso conhecimentos sobre o círculo trigonométrico, temos

$z_0=1+i\cdot 0\\\\\\\ z_1=0+i\cdot 1\\\\\\\ z_2=-1+i\cdot 0\\\\\\ z_3=0+i\cdot(-1)$

Multiplique os valores

$z_0=1\\\\\\\ z_1=i\\\\\\\ z_2=-1\\\\\\ z_3=-i$

Estas são as raízes do polinômio, logo o conjunto solução é:

$S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=1,~x=-1,~x=i,~x=-i\}$