Question

2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5

Answer 1

$\int\limits^5_0 { x^{2} -3x -4} \, dx$

$\frac{ x^{3} }{3} - 3 \frac{ x^{2} }{2} - 4x$  (De 0 a 5)

Como em 0 dá 0, temos...

$\frac{ 5^{3} }{3} - 3 \frac{ 5^{2} }{2} - 4*5$

Isso dá, em módulo, 15,833...

Answer 2

$\Bmatrix{y = 3x^2-3x-4\\\\y_2=0\\\\x=0\\\x_2=5\end$

o intervalo da area procurada vai ser de 0 a 5... (pq x vai de 0 a 5)

calculando onde as y ...intercepta a curva y2
$y=y_2\\\\x^2-3x-4=0$

resolvendo por bhaskara vc encontra 
x=-1 e x=4

como essa parabola de forma de U
no intervalo entre as raízes(de -1 até 4) 
ela esta abaixo do eixo x ...
logo se vc calcular a area vai dar um resultado negativo
quando isso acontece vc divide a sua integral em duas partes 
calculando a area 1 (A1) e a area 2 (A2)

neste caso a primeira vai de 0 até 4 (que é onde a area vai dar negativa) .
(não vai usar o -1 porque ele não faz parte do intervalo que foi dado no enunciado)

$A_1= \int\limits^4_0 {(x^2-3x-4)} \, dx \\\\\text{para nao dar resultado negativo}\\\\\boxed{A_1=-\int\limits^4_0 {(x^2-3x-4)} \, dx}}$

resolvendo 
$]A_1=-\int\limits^4_0 {(x^2-3x-4)} \, dx\\\\A_1 = - \left[ \frac{x^{2+1}}{2+1}-3 \frac{x^{1+1}}{1+1} -4x \right]^4_0\\\\A_1=-\left[ \frac{x^3}{3}- \frac{3x^2}{2}-4x \right]^4_0\\\\A_1=- \left[\left( \frac{4^3}{3}- \frac{3*4^2}{2}-4*4\right) - \left( \frac{0^2}{2}+ \frac{3*0^2}{2}-4*0\right)\right]\\\\A_1=-[ \frac{-56}{3} -0] = \frac{56}{3}$

a area dois vai ter de 4 até 5
$A_2= \int\limits^5_4 {(x^2-3x-4)} \, dx \\\\\\A_2=\left(\frac{5^3}{3}- \frac{3*5^2}{2}-4*5 \right) - \left(\frac{4^3}{3}- \frac{3*4^2}{2}-4*4 \right )\\\\A_2= \frac{-95}{6}- ( \frac{-56}{3} ) = \frac{17}{6}$

area total 
$A=A_1+A_2\\\\A= \frac{56}{3}+ \frac{17}{6} = \frac{43}{2}$