Question

2) A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Uma pessoa tomou por

engano uma dose de 2g desse antibiótico.

a) Calcule quanto tempo levará para que a substância deixe de existir no

organismo dessa pessoa.

b) Determine a equação da função exponencial que fornece a quantidade Q(t) de

amoxicilina que restará no corpo dessa pessoa no instante t.

c) Esboce o gráfico dessa função​

Answer 1

Utilizando conceitos de função exponencial de população, temos que:

a) Nunca.

b) $F=2.e^{-0,693.t}$.

c) Em anexo.

Explicação passo-a-passo:

A maioria das questões de tempo de vida são dadas por funções exponenciais descrescentes da forma:

$F=I.e^{-k.t}$

Onde 'F' é o resultado final da população depois de passado o tempo 't', 'I' é o valoor inicial desta população, 'e' é a constante exponencial natural de valor aproximado a 2,71 e 'k' é a constante de decaimento da população.

Assim o tempo de meia vida de uma objeto é quando este valor 'F' é igual a 'I'/2, ou seja, metade desta, da forma:

$\frac{I}{2}=I.e^{-k.t}$

$\frac{1}{2}=e^{-k.t}$

$2^{-1}=e^{-k.t}$

Aplicando logaritmo natural dos dois lados (logaritmo natural é a função inversa da exponencial natural 'e', logo eliman ela):

$Ln(2^{-1})=-k.t$

E como expoentes se tornam multiplicdores em logaritmos:

$Ln(2^{-1})=-k.t$

$-Ln(2)=-k.t$

$Ln(2)=k.t$

Agora substituindo 't' por 1 hora, teremos o valor de k com base no logaritmo natural de 2 que pode ser encontrado em diversas tabelas:

$Ln(2)=k.t$

$0,693=k.1$

$k=0,693$

Assim temos que nossa função é dada por:

$F=2.e^{-0,693.t}$

Onde 'I' foi substituido por 2, pois ele consumiu 2g deste antibiotico. E com isso podemos responder as questões:

a)

Nunca. Uma função de decaimento ela vai ficando menor com a medida que se aumenta o valor do tempo, porém ela nunca alcança o 0.

b)

Como calculamos anteriormente, temos a função:

$F=2.e^{-0,693.t}$

c)

O grafico pode ser visto em anexo da questão.