Question

2. A função custo total para certa mercadoria é CT(x) = 0,1x2 – 10x + 80. Sabendo que o preço de venda do produto é fixado em R$ 20, determine: (A) (0,50 pontos) a função Lucro Total. (B) (0,25 pontos) a quantidade da mercadoria que deve ser vendida para se obter o lucro máximo. (C) (0,25 pontos) o lucro máximo.

Answer 1

A função custo define o custo total da produção de x produtos.

O preço de venda de um produto pela sua quantidade é a receita gerada R(x)=preço*x(quantidade de produtos)

o lucro está na subtração da receita pelo custo. ou seja:

L(x)=R(x)-C(x)

Assim se temos o custo e o preço de venda podemos fazer:
$r(x) = 20 x \\ ct(x) = 0.1 {x}^{2} - 10x + 80 \\ l(x) = r(x) - ct(x)$
ou seja, substituindo na equação:
$l(x) = 20x - (0.1 {x}^{2} - 10x + 80) \\ l(x) = 20x - 0.1 {x}^{2} + 10x - 80 \\ l(x) = - 0.1 {x}^{2} + 30x - 80$
temos a função lucro da letra a

Pela função lucro ter o coeficiente angular negativo (o coeficiente que acompanha o x^2) a função terá um ponto de máximo. O x será a quantidade de produtos vendidos e o y o lucro retirado desses produtos, logo, vamos achar o vértice da parabola:
$l(x) = - 0.1 {x}^{2} + 30x - 80 \\ x = \frac{ - b}{2a} \\ x = \frac{ - 30}{ - 0.2} \\ x = 150$
logo, devemos vender 150 para obter lucro máximo. O pedido pela letra b.

o lucro máximo pode ser verificado inserindo 150 no lugar do x na função lucro ou pela fórmula do vértice y da parábola.

$l(x) = - 0.1 {x}^{2} + 30x - 80 \\l(x) = - 0.1( {150}^{2}) + 30(150) - 80 \\ l(x) = 2170$

que é o lucro máximo pedido na letra c.