Question

2- A figura seguinte é formada pelo trapézio isósceles CFPQ, de bases CF = 27 cm e PQ = 4,5 cm, e pelos três círculos congruentes, de centros A, B e D, tangentes entre si e tangentes aos lados do trapézio. Determine a medida aproximada da área branca da figura, sabendo que os raios dos círculos medem 4 cm.

Answer 1

A área em branco pode ser calculada se subtrairmos da área do trapézio a área dos círculos. A área do trapézio pode ser calculada se tivermos o valor das bases (27cm e 4,5cm) e o valor da altura h, que precisamos descobrir. Se traçarmos a altura do trapézio passando pelo ponto A, conseguimos calculá-la (observe o esboço). Apesar de confuso, o esboço nos mostra que a altura pode ser calculada somando : um raio de circunferência em baixo, um raio de circunferência em cima e a altura do triângulo equilátero (de lado 8cm) formado pela junção dos centros das circunferências.

$h = 4 + 4 + \frac{8 \sqrt{3} }{2} \\ h = 8 + 4 \sqrt{3} \\ h = 4(2 + \sqrt{3} )cm$

Agora, podemos calcular a área do trapézio:

$A_{trapezio }= \frac{(b + b) \times h}{2} \\ A_{trapezio } = \frac{(27 + 4.5) \times 4(2 + \sqrt{3} )}{2} \\ A_{trapezio } = 31.5 \times 2(2 + \sqrt{3} ) \\ A_{trapezio } = 63(2 + \sqrt{3} )c {m}^{2}$

A área do círculo é:

$A _{circulo} = \pi \times {r}^{2} \\A _{circulo} = \pi \times {4}^{2} = \pi \times 16 \\ A _{circulo} = 16\pi \: c {m}^{2}$

Podemos calcular a área branca agora:

$A_{branca} = A_{trapezio} - 3 \times A _{circulo} \\ A_{branca} = 63(2 + \sqrt{3} ) - 3 \times 16\pi \\ A_{branca} = 126 + 63 \sqrt{3} - 48\pi \\ \boxed{A_{branca} = 3(42 + 21 \sqrt{3} - 16\pi)c {m}^{2}}$

Se quisermos aproximar o valor, podemos substituir √3 por 1,7 e π por 3,14. Isso dá aproximadamente 84,32cm².