Question

2) A diferença entre o cubo de um número real e o seu quadrado é igual a soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número?

Answer 1

Chamemos o tal número real desconhecido por  x.

   •   O cubo desse número:  x³;

   •   O quadrado desse número:  x²;

   •   A diferença entre o cubo e o quadrado desse número:  x³ – x²;

   •   O triplo do quadrado desse número:  3x²;

   •   Soma do triplo do quadrado desse número com  25:   3x² + 25.


Então, de acordo com as informações do texto da questão, podemos montar a seguinte equação:

     x³ – x² = 3x² + 25

     x³ – x² – 3x² – 25 = 0

     x³ – 4x² – 25 = 0

     x³ – 4x² – 5² = 0


Aqui chegamos a uma equação de grau  3.  Mas nesse caso específico, podemos fazer uma manipulação adequada no fator do  2º  grau, de modo que a expressão é facilmente fatorada. Observe:

Reescreva convenientemente o termo  – 4x²  como  – 5x² + x²:

     x³ – 5x² + x² – 5² = 0


Coloque  x²  em evidência nos dois primeiros termos:

     x² · (x – 5) + x² – 5² = 0


Os dois últimos termos formam uma diferença entre quadrados. Fatore-os usando produtos notáveis:

    •   a² – b² = (a + b) · (a – b)


e a equação fica

     x² · (x – 5) + (x + 5) · (x – 5) = 0


Agora ponha o fator comum  (x – 5)  em evidência:

     (x – 5) · (x² + x + 5) = 0     <————     equação-produto.


O produto é zero somente se algum dos fatores é zero. Logo, devemos ter

     x – 5 = 0     ou      x² + x + 5 = 0

     x = 5     ou      x² + x + 5 = 0          (i)

—————

Verificando as soluções para a equação quadrática:

     x² + x + 5 = 0    ———>   coeficientes:  a = 1;  b = 1;  c = 5.


     Δ = b² – 4ac

     Δ = 1² – 4 · 1 · 5

     Δ = 1 – 20

     Δ = – 19 < 0


Como o discriminante  Δ  é negativo, então a equação quadrática não possui raízes reais.

—————

Dessa forma, por  (i),  ficamos apenas com

     x = 5   <————   esta é a resposta.


O número procurado é  5.


Bons estudos! :-)