Question

2) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e
as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Qual o valor da
hipotenusa?
a) 30
b) 24
c) 25
d) 21
e) 28​

Answer 1

Alternativa c) hipotenusa = 25 cm

Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é o segmento perpendicular à hipotenusa que passa pelo vértice que tem o ângulo de 90° ( como pode ser visto na figura )

Dadas as relações métricas:

relação (1)"O produto das projeções é igual ao quadrado da altura" $ab=h ^2$

relação (2)"O quadrado do cateto é igual ao produto da projeção deste cateto pela hipotenusa"

$a\times hip=A^2$

$b\times hip=B^2$

relação (3)"O produto da hipotenusa pela altura é o produto do cateto A pelo cateto B"

$hip\times h= AB$

Dados do problema:

altura $h=12$

$b-a=7$

sabendo que $b-a=7$ temos $b=7+a$.

Sendo assim, podemos usar a relação (1):

$b*a=h^2\\(7+a)a=h ^2\\a^2+7a-h^2=0\\h=12\\a^2+7a-144=0$

Resolvendo por fatoração a equação do 2º grau, queremos:

$(a+x)(a+y)=0$ tais quer $x*y=-144 \, ;\,x+y=7$

sabemos que $144=12*12=(3*4)*(3*4)=9*16$

percebendo que $16-9=7$

$(a+x)(a+y)=(a-9)(a+16)=0$ temos que $a=9$ ou [tx]a=-16[/tex].

o tamanho é positivo, logo, a=9

obtemos também $b=7+a=7+9=16$

por fim, o tamanho da hipotenusa é $hip  = a+b=16+9=25$

alternativa c é a correta!

além disso, podemos obter os catetos pela relação (2):

$A ^2= a*hip=9*25\\A=\sqrt{9*25}=3*5=15$

$A ^2= a*hip=16*25\\A=\sqrt{16*25}=4*5=20$

Os catetos são

$A=15\\B=20$