Question

√2,7...???
eu simplifique colocando em fração, mas na resolução está de outra forma e deu $\frac{5}{3}$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Deividy, que a resolução é bem simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para simplificar a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = √(2,777.....)

ii) Note que temos dentro da raiz um radicando constituído por uma dízima periódica (2,7777......). E há uma forma bem prática pra encontrarmos frações geratrizes de quaisquer que sejam as dízimas periódicas.
Essa forma resume-se no seguinte: multiplica-se a dízima periódica dada por uma (ou mais) potência de 10. E depois, após algumas operacionalizações, tentaremos fazer desaparecer o período (o período em dízimas periódicas é aquela parte que se repete. Daí o nome: dízima periódica).
Então vamos fazer o seguinte: vamos igualar a dízima que está no radicando da sua questão a um certo "x". Assim, teremos:

x = 2,777.....

Agora multiplicaremos "x' por "10", com o que ficaremos:

10*x = 10*2,777....
10x = 27,7777......

Agora subtrairemos, membro a membro, "x" de "10x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período. Veja:

10x = 27,777......
- x = -  2,777......
----------------------------- subtraindo membro a membro, ficaremos com:
9x = 25,000...... -- ou, o que é a mesma coisa:
9x = 25 ----- (veja que fizemos desaparecer o período).
x = 25/9  <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica 2,777......

iiy) Agora vamos voltar para a nossa expressão "y" e vamos substituir o radicando "2,777...." por "25/9". Assim teremos:

y = √(25/9) ---- note que isto é equivalente a:
y = √(25)/√(9) ----- como √(25) = 5; e √(9) = 3, teremos como resposta que:
y = 5/3 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o resultado a que se chega ao simplificar a expressão da sua questão [y = √(2,777...) .

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.