Question

√(2+√3)×+(2-√3)×=4
Como calcular as exponenciais dessa equação?

Answer 1

Ajustando, temos

$(2 + \sqrt{3})^{\frac{x}{2}} + (2 - \sqrt{3})^\frac{x}{2} = 4$

Aplicando logaritmos de base 2 dos dois lados, tem-se

$\log_2{{(2 + \sqrt{3})}}^{\frac{x}{2}} + \log_2(2 - \sqrt{3})^\frac{x}{2} =\log_2 4 \\ \frac{x}{2} \log_2 (2 + \sqrt{3}) + \frac{x}{2} \log_2(2 - \sqrt{3}) = 2 \\ \frac{x}{2}[\log_2 (2 + \sqrt{3}) + \log_2(2 - \sqrt{3})] = 2 \\ \frac{x}{2}[\log_2 (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})] = 2 \\ \frac{x}{2}[\log_2 (4 -3 )] = 2 \\ \frac{x}{2} \times \log_2{1} = 2 \\ \frac{x}{2} \times 0 = 2$

No entanto, o produto de x qualquer número com zero resultará em zero, o que resultaria na igualdade 

$x \times 0 = 2 \rightarrow 0 = 2 \rightarrow \bold{absurdo!}$

Logo, parece que nenhum valor de x seria capaz de alterar a igualdade acima de modo que ela se tornasse verdadeira. Sendo assim, a equação parece não ter solução.

A solução do colega não está correta. Substituí x = 7.407 do lado esquerdo da equação no Mathematica e obtive 131.29 .

Answer 2

(2^1/2+3^1/4)^x+(2^1/2-3^1/4)^x=4
2^x/2+2*2^1/2*3^1/4+3^x/4+2^x/2-2*2^1/2*3^1/4+3^x/4=4
2*2^x/2+2*3^x/4=4
2(2^x/2+3^x/4)=4
2^x/2+3^x/4=2
log2^x/2+log3^x/4=2
x/2*log2+x/4*log3=2
x(1/2*log2+1/4*log3)=2
x=2/(1/2*log2+1/4*log3)
x=2/(1/2*log2+1/4*log3)
x=2/(1/2*0,3+1/4*0,48)
x=2/(0,15+0,12)
x=2/0,27
x=7,407 dizima