Question

2) (2,5 Pontos) Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:


P(x)=2x^4-3x^3+3x^2-x+4 por: Q(x)=x^2+1



3) (2,5 Pontos) Determine a matriz inversa de A = 2 1
4 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Maysa, que a resolução é simples.
Note que a primeira e a segunda questão nós já havíamos respondido em uma outra questão colocada pelo usuário Durval. Então vamos apenas transcrever essas duas questões que respondemos para o Durval. Lá vai a transcrição:

!Vamos lá.

Durval, só estão claras as escritas da primeira e da segunda questão. Então vamos resolver somente essas duas, pois questões "3" e "4" não estão legíveis e não fica bem darmos uma resposta de uma questão que não tenhamos clareza sobre sua escrita. Nessas ocasiões não vale aquela de "se for assim", então a resposta é esta; "se for assado", então a resposta é aquela. E se não forem nenhuma das duas? É por isso que só resolveremos as questões que estão com suas escritas claras, ok?
Então vamos a elas.

1ª questão: Resolva a equação abaixo, sabendo-se que uma das suas raízes é x = -3:

x³ - 4x² - 11x + 30 = 0

Veja: se "-3" é uma raiz, então a equação acima será divisível por x-(-3)) = x+3. Então vamos efetuar a divisão pelo método tradicional, que é este:

x³ - 4x² - 11x + 30 |_x+3_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . x² - 7x + 10 <--- quociente.
-x³-3x²
------------------------
0-7x² - 11x + 30
.+7x²+21x
--------------------------
....0 +10x + 30
.......- 10x - 30
---------------------------
...........0......0 <--- Resto. Note que o resto teria que ser zero mesmo, pois estamos dividindo uma equação por uma de suas raízes. E toda equação é divisível (ou seja: deixa resto zero) por suas raízes.

Agora, para encontrar as outras raízes, vamos no quociente encontrado e vamos encontrar as outras raízes. O quociente encontrado foi este, que vamos igualá-lo a zero para encontrar as outras duas raízes da expressão inicialmente dada:

x² - 7x + 10 = 0 --- note que se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x'' = 2
x''' = 5

Assim, as três raízes da equação originalmente dada [x³-4x²-11x+30 = 0] são estas:

x' = - 3; x'' = 2; e x''' = 5 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''; x'''} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-3; 2; 5}.

2ª questão: Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:

P(x) = 2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 por Q(x) = x² + 1 ---- efetuando a divisão pelo método tradicional, teremos:

2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 |_x²+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . .  2x² - 3x + 1 <--- quociente
-2x⁴ ......- 2x²
---------------------------
.0 - 3x³ + x² - x + 4
...+ 3x³ ......+ 3x
-----------------------------
.......0 + x² + 2x + 4
..........- x²..........- 1
------------------------------
............0 + 2x + 3 <---- Resto.

Como visto acima, veja que encontramos o quociente e o resto e que são:

quociente: 2x² - 3x + 1; e resto: 2x + 3 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.

Note que numa divisão, o dividendo (D) é igual ao divisor (d)  vezes o quociente (q) mais o Resto (R), ou seja:

D = d*q + R ---- no caso específico da sua questão, teremos isto:

2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 = (x²+1)*(2x² - 3x + 1) + 2x + 3 ----- se você tiver paciência e efetuar o produto indicado acima de divisor*quociente e depois somar com o resto, vai notar que obterá exatamente o dividendo (2x⁴-3x³+3x²-x+4).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir."

Esta foi a transcrição das duas primeiras questões. Agora vamos responder à terceira questão proposta por você, que é esta:

3ª questão: Determine a matriz inversa da seguinte matriz A:

A = |2.....1|
.......|4.....0|

Vamos chamar a matriz inversa de A da seguinte forma:

A⁻¹ = |a.....b|
.........|c.....d|

Agora vamos multiplicar a matriz A pela matriz A⁻¹ e vamos igualar à matriz identidade da mesma ordem. Assim, teremos:

|2.....1|*|a.....b| = |1.....0|
|4.....0|*|c.....d| = |0.....1| ---- efetuando o produto, temos:

|2*a+1*c......2*b+1*d| = |1.....0|
|4*a+0*c.....4*b+0*d| =  |0.....1| ---- desenvolvendo, temos:

|2a+c.....2b+d| = |1.....0|
|4a+0.....4b+0| = |0.....1| ---- continuando o desenvolvimento, temos:

|2a+c.....2b+d| = |1.....0|
|4a.............4b| = |0.....1| ---- agora é só igualar cada termo da primeira matriz ao respectivo termo da segunda matriz, ficando assim:

2a+c = 1      . (I)
2b+d = 0      . (II)
4a = 0         . (III)
4b = 1        . (IV)

Veja que já a partir das expressões (III) e (IV) já sabemos qual será o valor de "a" e de "b", pois:

4a = 0 ---> a = 0/4 ---> a = 0
e
4b = 1 ---> b = 1/4

Como já temos que a = 0 e que b = 1/4, vamos para a expressão (I), que é esta:

2a + c = 1 ---- substituindo-se "a" por "0", teremos:
2*0 + c = 1
0 + c = 1
c = 1 <--- Este é o valor de "c".

E, finalmente vamos para a expressão (II), que é esta:

2b + d = 0 ---- substituindo-se "b" por "1/4", teremos:
2*1/4 + d = 0
2/4 + d = 0
d = - 2/4 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficamos:
d = - 1/2 <--- Este é o valor de "d".

Assim, a matriz inversa será esta, ao substituirmos "a" por "0", "b" por "1/4", "c" por "1" e, finalmente "d" por "-1/2", teremos:

A⁻¹ = |0.....1/4|
.........|1.....-1/2| <--- Esta é a matriz inversa pedida da matriz A.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.