Question

2) (2,5 Pontos) Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:


P(x)=2x^4-3x^3+3x^2-x+4 por: Q(x)=x^2+1



3) (2,5 Pontos) Determine a matriz inversa de A = 2 1
4 0




4) (2,5 Pontos) Determine os valores de LaTeX: \mu \in \mathbb{R}μ∈ℝ para os quais LaTeX: \text{det}(A -\mu I) = 0det(A−μI)=0 sendo LaTeX: A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} e LaTeX: I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} a matriz identidade.

Answer 1

Olá

2) Temos que $P(x) = 2x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x+4$ e $Q(x) = x^{2} + 1$

Para efetuar a divisão de polinômios, temos que armar a conta de divisão:

$2x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x+4$ | $x^{2} + 1$
$-2x^{4} -2x^{2}$                  | $2x^{2} - 3x + 1$

$-3x^{3}+x^{2}-x+4$
$3x^{3} +3x$

$x^{2}+2x+4$
$-x^{2}-1$

$2x+3$

Logo, temos que o resto é 2x + 3 e o quociente é igual a $2x^{2} - 3x + 1$

3) Agora vamos determinar a matriz inversa $A = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\4&0\end{array}\right]$

O produto da matriz A pela sua inversa tem que dá a matriz identidade.

Chamarei a matriz inversa de $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Daí, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\4&0\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Fazendo a multiplicação, obtemos:

{2a + c = 1
{2b + d = 0
{4a = 0
{4b = 1

Da terceira equação, temos que a = 0. Da primeira equação, temos que c = 1. Da quarta equação temos que b = 1/4 e da segunda equação temos que d = -1/2

Portanto, a matriz inversa é $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{4} \\1& \frac{-1}{2} \end{array}\right]$

4) Temos que: $\left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&1\end{array}\right] - u \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}u&0\\0&u\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2-u&0\\0&1-u\end{array}\right]$

Agora, calculando o determinante e igualando a 0:

|2 - u  1|
|0      1-u| = 0

(2-u)(1-u) = 0
$2 - 2u - u + u^{2} = 0$
$u^{2}-3u+2=0$

Utilizando Bháskara, temos que:

$u = \frac{-(-3) +- \sqrt{(-3)^{2} - 4.1.2} }{2.1}$
$u = \frac{3 +- \sqrt{9-8} }{2}$
$u = \frac{3 +- 1}{2}$

$u' = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$u" = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Portanto, u = 2 ou u = 1