Question

2) (2,5 Pontos) Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:


P(x)=2x^4-3x^3+3x^2-x+4 por: Q(x)=x^2+1



3) (2,5 Pontos) Determine a matriz inversa de A = 2 1
4 0




4) (2,5 Pontos) Determine os valores de LaTeX: \mu \in \mathbb{R}μ∈ℝ para os quais LaTeX: \text{det}(A -\mu I) = 0det(A−μI)=0 sendo LaTeX: A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} e LaTeX: I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} a matriz identidade.

Answer 1

Vamos lá.

Lucas, vamos resolver apenas as questões "2" e "3", pois a questão "4", no LaTex, ficou com a escrita confusa e não dá pra entender nada.
Então vamos tentar resolver as questões "2" e "3" de forma bem passo a passo para um melhor entendimento.

2ª questão: Obtenha o quociente e o resto da divisão de:


P(x) = 2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 por: Q(x) = x² + 1 ----- vamos efetuar a divisão pelo método tradicional, que é este:

2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 |_x²+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . .  2x² - 3x + 1 <--- quociente.
-2x⁴...... - 2x²
------------------------------
..0 - 3x³ + x² - x + 4
....+ 3x³.......+3x
-------------------------------
........0 + x² + 2x + 4
...........- x²...........-1
---------------------------
............0 + 2x + 3 <--- Resto.

Assim, como você viu aí em cima, temos que:

quociente: 2x² - 3x + 1
resto: 2x + 3

Pronto. A resposta para o quociente e o resto é a que demos aí em cima.

Agora note que todo dividendo (D) é igual ao divisor (d) vezes o quociente (q) mais o resto (R), ou seja:

D = d*q + R ----- no caso da sua questão, teremos que:

2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 = (x²+1)*(2x²-3x+1) +  2x+3 ------- Se você tiver paciência de efetuar essa multiplicação (divisor*quociente) e depois somar com o resto (2x+3) vai encontrar exatamente o dividendo, que é o próprio polinômio P(x), ok?


3ª questão:  Determine a matriz inversa da matriz A abaixo:

A = |2.....1|
......|4.....0|

Vamos chamar a inversa de A da seguinte forma:

A⁻¹ = |a.....b|
.........|c.....d|

Agora vamos multiplicar a matriz A pela matriz A⁻¹ e vamos igualar à matriz identidade da mesma ordem (ordem 2). Assim, teremos:

|2.....1|*|a.....b| = |1.....0|
|4.....0|*|c.....d| = |0.....1| ---- efetuando o produto, teremos:

|2*a+1*c....2*b+1*d| = |1.....0|
|4*a+0*c....4*b+0*d| = |0.....1|  ---- desenvolvendo, teremos:

|2a+c.....2b+d| = |1.....0|
|4a+0.....4b+0| = |0.....1| ---- continuando o desenvolvimento, temos:

|2a+c.....2b+d| = |1.....0|
|4a.............4b| = |0.....1|

Agora veja: basta que igualemos cada elemento da primeira matriz com cada elemento correspondente da segunda matriz. Dessa forma, teremos:

2a + c = 1      . (I)
2b + d = 0      . (II)
4a = 0            . (III)
4b = 1            . (IV)

Agora veja: a partir das expressões (III) e (IV) já descobriremos imediatamente os valores de "a" e de "b", pois:

4a = 0 ----> a = 0/4 ----> a = 0 <---Este será o valor de "a".
e
4b = 1 ---> b = 1/4 <---- Este será o valor de "b".

Agora basta irmos nas expressões (I) e (II) e substituiremos o "a" por "0" e o "b" por "1/4" e encontraremos o valor das demais letras (da "c" e da "d").
Assim, teremos:

- Na expressão (I), que é esta:

2a + c = 1 ---- substituindo-se "a" por "0", teremos:
2*0 + c = 1
0 + c = 1 --- ou apenas:
c = 1 <--- Este é o valor do elemento "c".

- na expressão (II), que é esta:

2b + d = 0 ---- substituindo-se "b" por "1/4", teremos:
2*1/4 + d = 0 --- ou apenas:
2/4 + d = 0 ---- note que se simplificarmos por "2" o numerador e o denominador da fração "2/4", iremos encontrar a fração "1/2". Assim, fazendo essa substituição, teremos:

1/2 + d = 0 ---- passando "1/2" para o 2º membro, temos:
d = - 1/2 <--- Este é o valor do elemento "d".

Assim, a matriz inversa de A será esta, após substituirmos os valores de "a", "b", "c" e "d":

A⁻¹ = |0......1/4|
.........|1.....-1/2| <--- Esta é a resposta.

Observação: a 4ª questão você reescreve e coloca-a em uma outra mensagem, mas de forma bem clara, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.