Question

2㏒₁₀x = 1 + ㏒₁₀(x +11/10).

Answer 1

Quando a base do logaritmo é 10, geralmente a omitimos. Então vou simplesmente escrever

$2\,\mathrm{\ell og\,}x=1+\mathrm{\ell og}\!\left(x+\dfrac{11}{10} \right )$


$\bullet\;\;$ Primeiro, devemos encontrar a condição de existência dos logaritmos:

Os logaritmandos devem ser positivos. Logo, devemos ter

$\begin{array}{rcl} x>0&~\text{ e }~&x+\dfrac{11}{10}>0\\\\ x>0&~\text{ e }~&x>-\,\dfrac{11}{10}\\\\ &x>0& \end{array}$


___________

Resolvendo a equação logarítmica:

$2\,\mathrm{\ell og\,}x=1+\mathrm{\ell og}\!\left(x+\dfrac{11}{10} \right )\\\\\\ \mathrm{\ell og}(x^2)=\mathrm{\ell og\,} 10 +\mathrm{\ell og}\!\left(x+\dfrac{11}{10} \right )\\\\\\ \mathrm{\ell og}(x^2)=\mathrm{\ell og}\!\left[10\cdot \left(x+\dfrac{11}{10} \right ) \right ]\\\\\\ \mathrm{\ell og}(x^2)=\mathrm{\ell og}(10x+11)$


A função logarítmica é injetora. Logo, a igualdade se mantém para os logaritmandos:

$x^2=10x+11\\\\ x^2-10x-11=0~~~~~~(\text{fatora\c{c}\~ao por agrupamento})\\\\ x^2+1x-11x-11=0\\\\ x(x+1)-11(x+1)=0\\\\ (x-11)(x+1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} x-11=0&~\text{ ou }~&x+1=0\\\\ x=11&~\text{ ou }~&x=-1~~\text{(n\~ao serve)} \end{array}$


Logo, a única solução é

$x=11$


Conjunto solução: S = {11}.


Bons estudos! :-)