Question

2.1 mostre que a funçao derivada de g é definida por g'(x) = 1+lnx.
2.2 determine b, ordenada do ponto em que a reta r interceta o eixo Oy.
2.3 mostre que de todas as retas tangentes ao grafico de g nenhuma é paralela à reta r.

Ajudem, respondam só o que souberem

Answer 1

• Como encontrar a derivada de uma função?

Para derivar uma função, podemos seguir dois rumos principais:

1. Utilizando a definição formal de derivadas, servindo para mostrar como chegar à função derivada.
2. Utilizando as regras práticas das derivadas, por exemplo, a regra do expoente ou a regra do produto.

Dessa maneira, para mostrar que a derivada de g(x) = x.lnx é g'(x) = 1+lnx, podemos seguir o primeiro rumo ou o segundo, pois ambos são válidos.

• Resolução da questão:

2.1 Fazendo pelo primeiro método, sabemos que uma das definições formais da derivada é expressa da seguinte maneira:

$\boxed{f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Nesse sentido, podemos desenvolver a expressão de g(x+h) e g(x) para encontrar a função derivada. Repare que no final do desenvolvimento recorremos à derivada da função ln(x) que, omitindo a demonstração, vale 1/x.

$g'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\\\g'(x) =\lim_{h\to 0} \left[\dfrac{g(x+h)}{h}-\dfrac{g(x)}{h}\right]\\\\g'(x) =\lim_{h\to 0} \left[\dfrac{(x+h).ln(x+h)}{h}- \dfrac{x.ln(x)}{h}\right]\\\\g'(x) =\lim_{h\to 0} \left[\dfrac{x.ln(x+h)+h.ln(x+h)}{h} - \dfrac{x.ln(x)}{h}\right]\\\\g'(x) =\lim_{h\to 0}\left[\dfrac{x.ln(x+h)}{h}+ln(x+h) - \dfrac{x.ln(x)}{h}\right]\\\\g'(x) =\lim_{h\to 0}\left[\dfrac{x.ln(x+h)}{h}- \dfrac{x.ln(x)}{h}\right] + ln(x)$

$g'(x) =\left(x.\lim_{h\to 0}\left[\dfrac{ln(x+h)-ln(x)}{h}\right]\right) + ln(x)\\\\g'(x) =\left(x.\dfrac{1}{x}\right) + ln(x)\\\\\\\boxed{g'(x) = 1+ln(x)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\blacksquare$

2.2 Por se tratar de uma função afim, a reta r tem expressão dada por:

$\boxed{r(x) = ax + b}$

Onde,

1. a é o coeficiente angular.
2. b é o coeficiente linear.
3. x é a variável independente.
4. r(x) é a variável dependente de x.

Nesse sentido, lembre-se da interpretação geométrica da derivada, como sendo igual à inclinação da reta tangente no ponto da função estudada. Neste caso, para encontrar o valor de a, basta saber a derivada da função g no ponto (1,0).

$g'(1) = 1 + ln(1)\\\\g'(1) = 1 + 0\\\\g'(1) = 1 \\\\\Rightarrow \boxed{r(x) = x+b}$

Feito isso, podemos igualar as expressões g(x) e r(x) no ponto (1,0) para encontrar o valor de b.

$g(1) = r(1)\\\\1.ln(1) = 1+b\\\\0 = 1 + b\\\\\ \Rightarrow\boxed{b = -1}$

2.3 Para que exista outra reta paralela à reta r, a inclinação dessa nova reta também deve ser igual a 1. Dessa maneira, vamos aplicar 1 à função da derivada para verificar se existe outro valor de x, além do x = 1, cuja derivada é 1.

$g'(x) = 1\\\\1 + ln(x) = 1\\\\ln(x) = 0\\\\\Rightarrow \boxed{x=1}$

Isto significa que apenas para x = 1, a reta tangente terá inclinação a = 1. Logo, não existem outras retas paralelas à r.

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