Question

2. [1,5 pontos] Resolva a inequação LaTeX: 4\cos^2 x \leqslant 34cos2x⩽3 com LaTeX: 0 \leqslant x \leqslant 2\pi0⩽x⩽2π (Sugestão: faça LaTeX: t = \cos xt=cosx e resolva LaTeX: 4t^2\leqslant 34t2⩽3)

Answer 1

Temos a inequação e sua restrição:

$4cos^2x \leqslant 3\\0 \leqslant x \leqslant 2\pi$

Podemos fazer uma mudança de variável, ou seja, chamar cos x de t e simplificar a inequação:

t = cos x

4cos²x ≤ 3

4t² ≤ 3

t² ≤ 3/4

t ≤ ±√3/2

Substituindo estes valores, temos:

cos x = √3/2; x = π/6 e x = 11π/6

cos x = -√3/2; x = 5π/6 e x = 7π/6

A solução é:

S = {π/6 < x < 5π/6 e 7π/6 < x < 11π/6}