1ª QUESTÃO Temos que a formula para conversão de juros compostos é dada por: Em que "I" (izão) é a taxa com maior unidade de tempo, "i" (izinho) é a taxa com menor unidade de tempo e K corresponde a quantas vezes a unidade menor "cabe dentro" da maior. Neste sentido, a taxa de 40% ao ano corresponde a aproximadamente:
Soluções para a tarefa
Veja, Gaabs, que você não informou a equivalência que a questão pede. Ou seja, uma taxa de 40% ao ano é equivalente a uma taxa de "x" ao mês, ou a uma taxa de "y" ao trimestre, ou a uma taxa "z" ao semestre, etc, etc, etc.
Então vamos aplicar a fórmula citada por você que seria esta:
1 + I = (1+i)^(k)
Na fórmula acima "I" (izão) corresponde à taxa de maior período (no caso 40% ou 0,40); por sua vez, "i" (izinho) corresponde à taxa de menor período; e "k" corresponde ao tempo.
i) Vamos encontrar qual será a taxa MENSAL equivalente a uma taxa de 40% (ou 0,40) ao ano. Então faremos isto:
1 + 0,40 = (1+i)¹² --- veja que elevamos a "12" porque um ano tem 12 meses. Logo:
1,40 = (1+i)¹² ----- vamos apenas inverter, ficando:
(1+i)¹² = 1,40 ---- isolando "1+i", teremos:
1+i = ¹²√(1,40) ----- note que ¹²√(1,40) = 1,02844 (bem aproximado). Logo:
1 + i = 1,02844 ---- passando "1" para o 2º membro, teremos:
i = 1,02844 - 1
i = 0,02844 ou 2,844% ao mês <--- Esta é a taxa MENSAL equivalente a uma taxa anual de 40% ao ano.
ii) Vamos calcular qual seria a taxa TRIMESTRAL equivalente a 40% (ou 0,40) ao ano. Então, aplicando a mesma fórmula, faremos isto:
1 + 0,40 = (1+i)⁴ --- veja: elevamos a "4" porque um ano tem 4 trimestres. Assim:
1,40 = (1+i)⁴ ---- vamos apenas inverter, ficando:
(1+i)⁴ = 1,40 ------ isolando "1+i", teremos:
1+i = ⁴√(1,40) -------- veja que ⁴√(1,40) = 1,08776 (bem aproximado). Logo:
1+i = 1,08776 --- passando "1'' para o 2º membro, teremos:
i = 1,08776 - 1
i = 0,08776 ou 8,776% <--- Esta é a taxa TRIMESTRAL equivalente a uma taxa de 40% ao ano. .
iii) Vamos calcular qual seria a taxa SEMESTRAL equivalente a 40% (ou 0,40) ao ano. Então, aplicando a mesma fórmula, faremos isto:
1 + 0,40 = (1+i)² ---- veja que elevamos a "2" porque um ano tem 2 semestres.
1,40 = (1+i)² ---- vamos apenas inverter, ficando:
(1+i)² = 1,40 --- isolando "1+i", teremos:
1+i = √(1,40) --------- note que √(1,40) = 1,1832 (bem aproximado). Logo:
1+i = 1,1832 ---- passando "1" para o 2º membro, teremos:
i = 1,1832 - 1
i = 0,1832 ou 18,32% <--- Esta é a taxa SEMESTRAL equivalente a uma taxa de 40% ao ano.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Aplicar taxas de juros compostos implica em
dizer que os juros serão aplicados sobre o montante final de cada mês, popularmente
conhecido como juros sobre juros.
O exercício não especifica qual a unidade de
tempo a que se quer converter. Portanto, para efeito de demonstração dos
cálculos, iremos utilizar meses. A conversão será realizada de taxa anual
(dada) para taxa mensal.
Caso deseje calcular a conversão de ano para
semestre, deve-se considerar que cabem dois semestres em um ano. Para converter
a bimestre, cabem 6 bimestres em um ano. A depender da unidade de tempo
desejada, faça o cálculo e substitua no valor de k na solução abaixo.
Dada a fórmula:
1+I=(1+i)^k
Onde:
I = taxa com maior unidade de tempo
i = taxa com menor unidade de tempo
k = razão entre unidade de tempo maior por
unidade de tempo menor
No problema dado:
I = 40% a.a.
i = ?
k = ?
Unidade de tempo maior = ano
Unidade de tempo menor = mês
O primeiro passo é calcular o valor de k.
Neste caso, temos que 1 ano equivale a 12
meses, portanto, a unidade de tempo menor cabe 12 vezes na unidade de tempo
maior.
I = 40% a.a. = 0,40
i = ?
k = 12
Aplicando a fórmula dada:
1 + 0,40 = (1 + i)^12
1,40 = (1 + i)^12
= 1 + i
1,028
= 1 + i
i = 1,028 – 1
i = 0,028 = 2,8%
RESPOSTA: A taxa de juros compostos de 40% a.a.
equivale à taxa de 2,8% a.m..