Question

1ª parte: Cálculo de volume de um sólido de revolução!

Answer 1

1)

Calcularemos a integral de 0 a 3 na direção de x. Multiplicado por 2. Já que estariamos calculando apenas 1/2 de volume.

Vamos deixar a eq em função de y:

x²+y²=9

y²=9-x²

y = √(9-x²)

Repare que Y = 0 é a função inferior, assim teremos:
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$\\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 { (\sqrt{9-x^2} )^2-0^2} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 { 9-x^2} \, dx \\ \\ V = 2 \pi [9x- \frac{x^3}{3} ](0,3) \\ \\ V = 2\pi [9*3- \frac{3^3}{3} -0] \\ \\ V = 2 \pi [27-9] \\ \\ V = 36 \pi u.v$

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2)

Vamos isolar y:

x²/9+y²/4=1

y²/4 = 1-x²/9

y² = 4(1-x²/9)

y = √4(1-x²/9)

Calcularemos do mesmo modo:



$\\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {( \sqrt{[4(1- \frac{x^2}{9} )}]^2-0^2 } \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {4(1- \frac{x^2}{9}) } \, dx \\ \\ V = 8 \pi \int\limits^3_0 {1-\frac{x^2}{9}} \, dx \\ \\ V =8 \pi [x- \frac{x^3}{27} ](0,3) \\ \\ V = 8 \pi [3- \frac{3^3}{27} -0] \\ \\ V = 8 \pi [3-1] \\ \\ V = 16\pi u.v$

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3)

Y² = ax

y = √ax  <= é a função superior:

y = 0 <= função inferior:

Limites de integração é:    0 ≤ x ≤ 3a

ou seja, de 0 a 3a:

Teremos então:

$\\ V = \pi \int\limits( \sqrt{ax})^2-0^2 {x} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits ax\, dx \\ \\ V = \pi [\frac{ax^2}{2} ](0,3a) \\ \\ V = \pi [ \frac{a(3a)^a}{2} -0] \\ \\ V = \pi [\frac{9a^3}{2} ] \\ \\ V = \frac{9a^3 \pi }{2}u.v$