Question

1ª log na base x (4x-3)= log na base x (x-1)                                                                                                                                                                                                                        2ª log na base 3 (x+3) + log na base 3 (2x-9)= log na base 3 8                                                                                                                                                                                            3ª log na base 1/3 (x+1) + log na base 1/3 (x-5)= log na base 1/3 (2x-3)                                                                                                                                                                              4ª  log na base 2 (2x-1) - log na base 2 (x+2)= log na base 2 (4x+1) - log na base 2 (x+10)

Answer 1

LOGARITMOS

Equações Logarítmicas 1° e 2° tipos

a) $Log _{x}(4x-3)=Log _{x}(x-1)$

Impondo a condição de existência, para a base e para o logaritmando, temos que:

base $x>0$  e  $x \neq 1$ 

Logaritmando $4x-3>0$ .:. $4x>3$ .:. $x> \frac{3}{4}$

                     $(x-1)>0$ .:. $x>1$

Resolução:

Como os logaritmos acima estão em uma mesma base, base x, podemos eliminar as bases e realizar as operações:

$4x-3=x-1$

$4x-x=-1+3$

$3x=2$

$x= \frac{2}{3}$

Vemos portanto que x não atende a condição de existência, logo:


Solução: {  } conjunto vazio


b) $Log _{3}(x+3)+Log _{3}(2x-9)=Log _{3}8$

Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0:

$(x+3)>0$ .:. $x>-3$

$(2x-9)>0$ .:. $2x>9$ .:. $x> \frac{9}{2}$

Como os logaritmos encontram-se na mesma base podemos elimina-las e aplicarmos a p1 (propriedade do produto)

$Log _{b}a+Log _{b}c=Log _{b}a*Log _{b}c$

$(x+3)(2x-9)=8$

$2x^{2}-9x+6x-27=8$

$2 x^{2} -3x-27-8=0$

$2 x^{2} -3x-35=0$

Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes $x'= -\frac{7}{2}$ e 

$x"=5$

Vemos que pela condição de existência somente a 2a raiz satisfaz, portanto:


Solução: {5}


c) $Log _{ \frac{1}{3} }(x+1)+Log _{ \frac{1}{3} }(x+5)=Log _{ \frac{1}{3} }(2x-3)$

Verificando a C.E., para o logaritmando x > 0, temos:

$(x+1)>0$ .:. $x>-1$

$(x-5)>0$ .:. $x>5$

$(2x-3)>0$ .:. $2x>3$ .:. $x> \frac{2}{3}$

Novamente vimos que os logaritmos estão em uma mesma base, base 1/3, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:

$(x+1)(x-5)=2x-3$

$x^{2} -5x+x-5=2x+3$

$x^{2} -4x-5-2x-3=0$

$x^{2} -6x-8=0$

Por Báskara encontramos as raízes $x=3 \frac{+}{}2 \sqrt{17}$

O que pela condição de existência somente a 1a raiz satisfaz.


Solução: {$3+2 \sqrt{17}$}



d) $Log _{2}(2x-1)-Log _{2}(x+2)=Log _{2}(4x+1)-Log _{2}(x+10)$

Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0, vem:

2x-1>0         x+2>0      4x+1>0        x+10>0
2x>1            x> -2         4x> -1          x> -10
x>1/2                           x> -1/4


Se as bases são iguais, base 2, podemos elimina-las e aplicarmos a p2, propriedade do quociente:

$Log _{b} a-Log _{b}c=Log _{b} \frac{a}{c}$

$\frac{(2x-1)}{(x+2)} = \frac{(4x+1)}{(x+10)}$

$(2x-1)(x+10)=(x+2)(4x+1)$

$2 x^{2} +20x-x-10=4 x^{2} +x+8x+2$

$-2 x^{2} +10x-12=0$ : (-2), temos:

$x^{2} -5x+6=0$

Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes x'=2 e x"=3

O que pela condição de existência as duas raízes satisfazem.


Solução: {2, 3}