Question

19) (UEPG-PR) Seja a função f(x)= 3x²+4 definida para todo x real. Seu conjunto imagem é:



a) Reais

b) {y € |R/ y≤ 4}

c) {y € |R/-4< y< 4}

d) {y € |R/ y ≥ 4}

e) {y € |R/ y > 4}


cálculo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Monika, que a resolução é simples.

Pede-se o conjunto-imagem da função abaixo:

y = 3x² + 4 ------ note que temos aqui uma equação do 2º grau incompleta. Falta-lhe o termo "b", lembrando que uma equação do 2º grau é aquela da forma: y = ax² + bx + c. No caso da sua questão está faltando o termo em "x", ou seja, falta o coeficiente de "x".
Então, para facilitar, vamos preencher o termo em "x" com "0", ficando a sua função escrita da seguinte forma:

y = 3x² + 0x + 4 ---- Pronto. Agora ela está completa porque completamos o termo em "x" com zero.

Agora note isto e nunca mais esqueça: o conjunto-imagem de QUALQUER função do 2º grau SEMPRE será dado pelo "y" do vértice (yv).
Ou seja, o conjunto-imagem de uma equação do 2º grau será uma das seguintes hipóteses:

Im = y ≥ yv ---- (o conjunto-imagem é maior ou igual ao "y" do vértice)
ou
Im = y ≤ yv --- (o conjunto-imagem é menor ou igual ao "y" do vértice).

Aí você poderá perguntar: e como saberemos se o conjunto-imagem é menor ou igual ou maior ou igual ao "y" do vértice?
Resposta: você saberá isso pelo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²). Ou seja, se você tiver: y = ax² + bx + c, então deverá olhar logo qual é o sinal do termo "a" (que é o coeficiente de x², como já afirmamos acima).
Aí terá as seguintes possibilidades:

i) Se o termo "a" for negativo, então iremos ter um ponto de máximo, e, assim, o conjunto-imagem da função "y" será: Im = y ≤ yv.
ii) Se o termo "a" for positivo, então iremos ter um ponto de mínimo, e, assim, o conjunto-imagem da função "y" será: Im = y ≥ yv.

Bem, vistos esses breves prolegômenos então vamos trabalhar com a sua equação do 2º grau, que já colocamos na sua forma completa, quando preenchemos o termo em "x" com "0", e que ficou assim:

y = 3x² + 0x + 4

Vamos encontrar qual é o "y" do vértice (yv), cuja fórmula para encontrá-lo é esta:

yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "0", "a" por "3" e "c" por "4", teremos:

yv = - (0² - 4*3*4)/4*3
yv = - (0 - 48)/12 --- ou apenas:
yv = - (- 48)/12 ----- como menos com menos dá mais, ficaremos:
yv = 48/12
yv = 4 <---- Este é o valor do "y" do vértice da função da sua questão.

E, como o termo "a" é positivo, então teremos um ponto de mínimo e, como tal, o conjunto-imagem será: y ≥ 4 , o que você poderá ser representado da seguinte forma:

Im = {y ∈ R | y ≥ 4}  <--- Esta é a resposta. É a opção "d".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas pra você ter uma ideia, veja como isso é verdade. Veja o gráfico no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos) e constate tudo o que dissemos sobre o conjunto-imagem da função da sua questão. Veja lá.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+3x%C2%B2+%2B+4

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.