Question

186.Um topógrafo deseja medir a distância x de um ponto Q na margem de um rio até um ponto inacessível P na outra margem, conforme a figura. Sabendo-se que ele visualiza o ponto P segundo um ângulo β e, em seguida, ele se desloca uma distância b até o ponto R e observa o ponto P segundo o ângulo θ, a expressão que calcula a distância x é

Answer 1

A alternativa correta é x = bsen0 / sen (β + 0) .

Vamos aos dados/resoluções:  

Idealizando "c" como a medida de PR, teremos que pela lei dos Cossenos em função do ângulo β:

c² = x² + b² - 2 . x . b . cosβ (I)

Pela mesma lei porém em função do ângulo 0:

x² = b² + c² - 2.c.b.cos0 (II)

Adotando H como a altura do triângulo QPR ;  

sen(β) = H/x    

H = x.sen(β)    (III)    

sen(θ) = H/c    

H = c.sen(θ)   (IV)

Se igualarmos (III) e (IV) ;  

x.sen(β) = c.sen(θ)

c = x.sen(β)/sen(θ)

Voltando para as equações (I) e (II) ;  

c² = x²+b²-2.x.b.cos(β)

x² = b²+c²-2.c.b.cos(θ)

Substitua "c²" na equação (II) pelo seu valor na equação (I):

x²=b²+x²+b²-2.x.b.cos(β)-2.c.b.cos(θ)

Subtraindo "x²" dos dois lados e passando "-2.x.b.cos(β)-2.c.b.cos(θ)" para o lado esquerdo da equação:

2.x.b.cos(β)+2.c.b.cos(θ)=2b²

Substituindo "c" pelo valor encontrado anteriormente (c=x.sen(β)/sen(θ)):

2.x.b.cos(β)+2.(x.sen(β)/sen(θ).b.cos(θ)=2b²

Colocando "2.x.b" em evidência do lado esquerdo:

2.x.b.(cos(β)+sen(β).cos(θ)/sen(θ))=2b²

Cortando "2b" nos dois lados:

x.(cos(β)+sen(β).cos(θ)/sen(θ))=b     (V)

Então ao igualarmos os denominadores de "cos(β)+sen(β).cos(θ)/sen(θ)", ficaremos com "(sen(θ).cos(β)+sen(β).cos(θ))/sen(θ)". Assim, percebe-se que o numerador "sen(θ).cos(β)+sen(β).cos(θ)" é igual à "sen(β+θ)" :  

Finalizando com a equação (V) ;  

x.(sen(β+θ)/sen(θ))=b

Se passarmos o (sen(β+θ)/sen(θ))" para o lado direito, ficaremos com: x=b.sen(θ)/sen(β+θ)

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)