Question

18- Simplificando corretamente a expressão T =

Answer 1

O jeito mais simples talvez seja usar essa propriedade:

$\sqrt[b]{k^{a}} = k^{\frac{a}{b}}$

Ou seja, converter as raízes para expoentes fracionários.

Sabe-se que:

$64 = 2^{6}$

Assim, teremos:

$\left(2^{\frac{6}{3}} \cdot (2^{\frac{6}{3}})^{\frac{1}{3}} \cdot \left[(2^{\frac{6}{3}})^{\frac{1}{3}} \right]^{\frac{1}{3}} \cdot ... \right)^{\frac{1}{3}}$

Agora, pode ser usada uma outra propriedade que diz:

$(k^{a})^b = k^{a \cdot b}$

Ou seja:

$\left(2^{\frac{6}{3}} \cdot (2^{\frac{6}{9}}) \cdot (2^{\frac{6}{27}}) \cdot 2^{\frac{6}{81}} \cdot ...\right)^{\frac{1}{3}}$

Agora usamos a propriedade:

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c}$

Ou seja, multiplicação de exponenciais de mesma base: mantém a base e soma os expoentes:

$\left(2^{\frac{6}{3} + \frac{6}{9} +\frac{6}{27} +\frac{6}{81}+... }\right)^{\frac{1}{3}}$

Ou seja, o expoente vai formar uma série geométrica. Se lembrar, a soma dos termos de uma P.G. infinita é dada por:

$S_n = \dfrac{a_1}{1 - q}$

Onde $a_1$ é o primeiro termo e q a razão. Substituindo: $a_1 = \dfrac{6}{3}$ e $q = \dfrac{1}{3}$:

$S_n = \dfrac{\dfrac{6}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}}$

$S_n = \dfrac{\dfrac{6}{3}}{\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}}$

$S_n = \dfrac{\dfrac{6}{3}}{\dfrac{2}{3}}$

$S_n = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{3}{2}$

$S_n = \dfrac{6}{2}$

$S_n = 3$

Então no final, teremos apenas:

$\left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}}$

Finalmente:

$\left(2^{3} \cdot \frac{1}{3}\right)$

$2^1 = 2$

Alternativa B