Matemática, perguntado por Gabrielbirico, 4 meses atrás

18) Seja f uma função quadrática cujas raízes são -4 e
3. Se o gráfico de f intercepta o eixo das ordenadas no
ponto (0; -2), então:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto imagem da referida função quadrática é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I_{m} = \bigg[-\frac{49}{24},\,+\infty\bigg[\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Portanto, a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa \:A\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} x' = -4\\x'' = 3\\P(0, -2)\end{cases}$

Sabendo que a função possui como raízes "-4" e "3", então podemos monta-la da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'') = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - (-4))\cdot(x - 3) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x + 4)\cdot(x - 3) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + x - 12 = 0\end{gathered}$}$

Agora, sabemos também que o ponto de interseção "P" da função com o eixo das ordenadas é "P(0, 2)". Desta forma, devemos encontrar o valor "k" de modo que o produto entre k e o termo independente da equação "I" resulte em -2, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k\cdot(-12) = -2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:k = \frac{1}{6}\end{gathered}$}$

Agora devemos multiplicar o equação "I" por k, isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k\cdot(x^{2} + x - 12) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{6}\cdot(x^{2} + x - 12) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{6}\cdotx^{2} + \frac{1}{6}\cdot x +\frac{1}{6}\cdot(-12) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{6} - 2 = 0\end{gathered}$}$

Portanto, o equação procurada é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{6} - 2 = 0\end{gathered}$}$

Desta forma, a função quadrática que devemos trabalhar é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{6} - 2\end{gathered}$}$

Agora devemos calcular o vértice da parábola que representa esta função. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = \bigg(-\frac{b}{2a},\,-\frac{\Delta}{4a}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left(-\frac{\dfrac{1}{6}}{2\cdot\dfrac{1}{6}},\,-\frac{\left[\bigg(\dfrac{1}{6}\bigg)^{2} - 4\cdot\dfrac{1}{6}\cdot(-2)\right]}{4\cdot\dfrac{1}{6}}\right)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left(-\frac{1}{2},- \frac{\dfrac{49}{36}}{\dfrac{4}{6}}\right)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(-\frac{1}{2},-\frac{49}{24}\bigg)\end{gathered}$}$

Portanto, o vértice da parábola é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = \bigg(-\frac{1}{2},-\frac{49}{24}\bigg)\end{gathered}$}$

Desta forma, o conjunto imagem da função é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} I_{m} = \left\{y\in\mathbb{R}\:|\: y\geq-\frac{49}{24}\right\} = \bigg[-\frac{49}{24}, + \infty\bigg[\end{gathered}$}$

Analisando o gráfico da função, logo abaixo - se estiveres utilizando o PC - ou que está logo acima - se estiveres utilizando ao app - percebemos que:

A função é crescente para todo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x > -\frac{1}{2}\end{gathered}$}$

A função será decrescente para todo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x < -\frac{1}{2}\end{gathered}$}$

A função será positiva para:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x < -4\:\:\:e\:\:\:x > 3\end{gathered}$}$

A função será negativa para:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -4 < x < 3\end{gathered}$}$

O ponto de mínimo da função é o vértice da função, ou seja: $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P_{M} = V = \bigg(-\frac{1}{2},\,-\frac{49}{24}\bigg)\end{gathered}$}$